Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,775

Рассмотрим в плоскости z полубесконечную область S. Функция

f,         (1)

где:

f комплексные числа, f действительные числа, является частным случаем отображающей функции, приведенной в работе [1], при k=0. Она осуществляет конформное отображение нижней полуплоскости ImZ<0 на область S.

Пусть некоторый участок границы L области S, занимаемой упругим телом, получил смещение, причем, g1(t) и g2(t) - граничные значения компонент смещения. Необходимо определить напряженное состояние в области S.

Рассмотрим известное граничное условие, приведенное в работе [2]:

f,                 (2)

где: f и μ - упругие постоянные; f - граничные значения голоморфных в нижней полуплоскости функций f, причем

f,

где C - произвольная постоянная.

Будем считать, что при больших значениях | t | заданные функции подчинены условию

f,

где G - произвольная комплексная постоянная.

Кроме того, полагаем, что f удовлетворяет условию Гельдера, включая бесконечно удаленную точку.

Используя граничное условие (2), ему сопряженное и свойства интегралов типа Коши, получим

f;              (3)

f         (4)

где

f  (5)

f

f              (6)

Для определения компонент напряжения необходимо воспользоваться формулами

f                              (7)

правые части которых могут быть вычислены при помощи формул (3) и (4).

После этого компоненты деформации определяются по формулам

f                          (8)

Рассмотрим пример.

Пусть отрезок f оси f подвержен равномерному вертикальному смещению p, а остальная часть границы свободна от каких-либо внешних воздействий.

Отделив действительную часть от мнимой части в выражении (1), получаем при f параметрические уравнения

f                  (9)

описывающие кривые, являющиеся границами односвязных областей, отображаемых функцией (1).

Итак, f.

Формулы (3) и (4) при этом приобретают вид

f                           (10)

f (11)

где: f.

Условимся, что под выражением f будем понимать приращение функции f при непрерывном изменении t в интервале f.

Подставляя выражения (1), (5), (6), (10), (11) в (7) и (8), получаем в замкнутом виде формулы для компонент напряжения f и деформации f, дающие решение задачи для рассматриваемого случая.

Полученные выражения при принятых выше условиях являются голоморфными в нижней полуплоскости функциями, поскольку этим свойством обладают функции, входящие в правую часть соотношения (7).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Богомолов А.Н. Расчет несущей способности оснований сооружений и устойчивости грунтовых массивов в упругопластической постановке / А.Н.Богомолов. - Пермь: ПГТУ, 1996.
  2. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И.Мусхелишвили. - М.: Наука, 1966.