Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,736

В работах [1-4] изучалось асимптотическое поведение решений задачи Коши для линейных гиперболических систем с одной пространственной переменной - устойчивость, дихотомия, экспоненциальная расщепляемость - на основе построенного в [1,5] аппарата матриц Римана первого и второго рода, представляющих собой соответственно сингулярную и регулярную компоненты фундаментальной матрицы гиперболической системы. В [6] предложен подход к анализу устойчивости решений задачи Коши, основанный на приведении гиперболической системы к обыкновенному дифференциальному уравнению с ограниченным операторным коэффициентом в гильбертовом пространстве и последующем применении метода функционалов Ляпунова. В данной работе рассматривается смешанная задача для почти линейной гиперболической системы с одной пространственной переменной, встречающаяся в задачах акустики, теории упругости, химической кинетики [7-11]. Ранее в работе [10] исследовалась устойчивость стационарных решений этой задачи первым методом Ляпунова, установлен спектральный признак экспоненциальной устойчивости в 1 норме. Ниже предложен вариант метода функционалов Ляпунова для этой задачи, установлен признак экспоненциальной устойчивости в 2 норме в терминах матричных неравенств.

Рассматривается краевая задача для гиперболической системы с кратными характеристиками

f       (1)

Здесь П-полуполоса f

f;f 

f

ff

f

f   - единичная матрица порядка f, ff  - строка размера Nk; f - постоянные матрицы соответствующих размеров. Матрицы A, B и векторы f - гладкие в своих областях определения, f равномерно по f при f. Здесь и далее f - евклидова норма в f, знак * означает транспонирование. Предполагаются выполненными условия согласования нулевого и первого порядков:

f  (2)

где f При указанных условиях имеет место локальная однозначная разрешимость краевой задачи (1) в классе гладких функций [7]. Далее будем дополнительно предполагать: существует такое r > 0 что при условии f имеет место однозначная гладкая разрешимость во всей полуполосе f. Можно считать f. В силу оценки (2) начальной функции fотвечает решение f.

Обозначим через H множество гладких функций f, удовлетворяющих условиям (2) с заменой hk на h, fЗначения решения f краевой задачи (1) при каждом t - элементы H. Будем говорить, что решение f задачи (1) экспоненциально устойчиво в L2-норме, если существуют такие числа f что для решений задачи (1), удовлетворяющих условию f, верна оценка

f

Зафиксируем гладкую [0,1] на  матрицу f где блоки Gk имеют такие же размеры, как соответствующие блоки матрицы A, и удовлетворяют условиям

f

Представим матрицы A,G  в виде f где f имеют порядок f и построим матрицы

f

f

f

ТЕОРЕМА. Для экспоненциальной устойчивости в L2-норме решения u=0 краевой задачи (1) достаточно существование матрицы G с указанными свойствами такой, что выполняются неравенства

f

ЛИТЕРАТУРА

  1. РомановскийР.К. О матрицах Римана первого и второго рода //Докл. АН СССР. 1982. Т.267,№ 3. C.577-580.
  2. РомановскийР.К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными // Мат. сб. 1987. Т.133, № 3. С.341-355.
  3. РомановскийР.К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами // Применение методов функционального анализа в задачах математической физики. Киев: ИМ АН УССР, 1987. С.47-52.
  4. РомановскийР.К. Усреднение гиперболических уравнений//Докл. АН СССР. 1989. Т.306, № 2. C.286-289.
  5. РомановскийР.К. О матрицах Римана первого и второго рода //Мат. сб. 1985. Т.127, № 4. С.494-501.
  6. ВоробьеваЕ.В., РомановскийР.К. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболической системы с двумя независимыми переменными // Сиб. мат. журн. 1998. Т.39, № 6. С.1290-1292.
  7. АболиняВ.Э., МышкисА.Д. Смешанная задача для почти линейной гиперболи-ческой системы на плоскости //Мат. сб. 1960. Т.50, №4. С.423-442.
  8. ЗеленякТ.И. О стационарных решениях смешанных задач, возникающих при изучении некоторых химических процессов //Дифференц. уравнения. 1966. Т.2, №2. С.205-213.
  9. ГодуновС.К. Уравнения математической физики //М.: Наука. 1979.
  10. ЕлтышеваН.А. О качественных свойствах решений некоторых гиперболи-ческих систем на плоскости // Мат. сб. 1988. Т.135, №2. С.186-209.
  11. АкрамовТ.А.Качественный и численный анализ модели реактора с противотоком компонентов // Математическое моделирование каталитических реакторов. Новосибирск: Наука, 1989. С.195-214.