Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,775

Колебания среды, возникающие в твердом теле при высоких температурах, оказывают значительное влияние на образование в нем структурных дефектов. Изучение характера распространения колебаний в упруго-пластической среде является актуальной задачей физики конденсированного состояния. Взаимосвязь колебаний плотности структурных дефектов и смещений среды можно описать с помощью калибровочной теории дефектов [1].

Целью работы является определение частот колебаний упруго-пластической среды с дефектами структуры.

Из полевых уравнений теории [1] следуют уравнения непрерывности и равновесия в обобщенной форме:

f,                                 (1)

где f, f, f; греческие индексы принимают значения 0, 1, 2, 3, а латинские - 1, 2, 3; f- коэффициенты упругой жесткости кристалла; ρ = const - плотность материала; c - скорость света; f - тензор деформаций кристалла; αij - тензор теплового расширения кристалла, α0a=0; T - температура.

uαβ = (∂βuα + ∂αuβ + θαβ + θβα)/2,                                (2)

где f - вектор смещений; θαβ - компоненты объектов аффинной связности, обусловленные трансляционными дефектам, например, краевыми дислокациями.

Основные уравнения имеют более простой вид в случае изотропной среды. Коэффициенты упругой жесткости вычисляются по формуле:

cijkl = λ∙δijδkl+μ∙δilδjk+ν∙δikδlj.                                       (3)

Подставив (2) и (3) в (1), получим уравнение динамики среды с дефектами:

f,       (4)

где f, f, f, по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Правая часть уравнения (4) содержит вынуждающие силы.

Направим ось Ox по направлению распространения волны, тогда вектор смещений ui(x,t) можно разложить на продольную и поперечные составляющие вида A0exp{i(ω∙t+k∙x)}.

Величины p, si, fi зададим в виде гармонических колебаний с амплитудами A1, A2, A3 соответственно, сдвинутых по фазе на величину φ относительно смещений. Подставим ui(x,t), p(x,t), si(x,t) и fi(x,t) в (4). Для продольных колебаний получим уравнение:

-(λ+2μ)k2+ρω2 = (- i∙λkτ1 - μτ2 + iρcωτ3)e,         (5)

для поперечных колебаний:

- μk2+ρω2 = (- i∙λkτ1 - μτ2 + iρcωτ3)e,  (6)

где f, m = 1, 2, 3.

Решив уравнения (5), (6) относительно ω, получим два корня:

f

f, n = 0,1,   (7)

где для продольных колебаний:

f,

f

для поперечных колебаний:

f,

f.

Мнимая часть выражения (7) определяет коэффициент нарастания (затухания) колебаний. Волновые решения с Imwn ≠ 0 физически не реализуются в твердом теле.

Найдем частоты волн колебаний, распространяющихся в среде с дефектами. Положим мнимую часть ωn равной нулю и определим значение разности фаз φ. Для упрощения расчетов выберем τ2 = τ3 = 0, тогда получим два значения φ0 = π/2, φ1 = - π/2, при которых

для поперечных колебаний

ωn = ( |(-1)n k∙μ + τ1∙λ|∙k / ρ )1/2, n = 0,1;                (8)

для продольных колебаний

ωn = ( |(-1)n k∙(λ+2μ) + τ1∙λ|∙k / ρ )1/2, n = 0,1        (9)

Частоты (8) и (9) соответствуют физически возможным решениям уравнения (4) для незатухающих волн деформации. При τ1 = 0 выражения (8), (9) переходят в известные выражения для волн в упругой среде без дефектов. Структурные дефекты влияют на частоту распространяющихся волн. Зависимость ωn от отношения амплитуд τ для продольных колебаний показана на рис. 1. Для частоты поперечных колебаний график имеет аналогичный вид. В расчетах использованы значения λ = -5,09∙1011 Н/м2 и μ= 5,31∙1011 Н/м2, ρ = 2,3 ∙ 103 кг/м3, k = 1 м-1.

p

Рисунок 1. Зависимость частоты продольных волн в упруго-пластической среде от отношения амплитуд τ: 1 - ω0(τ); 2 - ω1(τ)

Функция ω0(τ) монотонно возрастает при τ>0. Функция ω1(τ) имеет минимум, в котором частота достигает значения ωmin = 0, что соответствует стоячим волнам. Длина стоячих волн зависит от значения τ.

Таким образом, получены следующие типы решений: 1 - непрерывно возрастающие (убывающие) по амплитуде волны, реально не наблюдаемые; 2 - незатухающие волны деформации, в дисперсионные соотношения которых входят упругие постоянные среды, плотность среды, отношение амплитуд колебаний вынуждающей силы и смещений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Bogatov N.M. Gauge field theory of dislocations formation by thermal stresses // Phys. Stat. Sol. (b). 2001. V. 228. №3 P.651- 661.