Scientific journal

Advances in current natural sciences

ISSN 1681-7494

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,775

Геометрическим генератором фрактальных решеток может быть фрагмент двумерных дважды периодических полигонных R_{Pg}im-структур, в частности, тетрагонных R_{4}im-структур, соответствующих двумерной сетке Кеплера 4444 или ее производным. Предполагается, что в вершинах тетрагона могут располагаться атомы, комплексные частицы, или определенные локальные совокупности атомов одного или нескольких сортов - молекулы, кластеры.

Процедура формирования генератора G из квадратного фрагмента тетрагонной R_{4}im-структуры определяется законом транскрипции T_ik:

G = L_{N{4}, i, k} (N{4}_I, T_ik),

а процедура получения самоподобных фрактальных решеточных n-структур (предфракталов) - итерационным законом T_n:

F_N{4}ik = G(T_n) = L_{N{4}, i, k} (N{4}_I, T_ik, T_n),

где N - количество тетрагонов {4} в квадратном фрагменте пространства со стороной b; I - характеристика «ядра» двумерной тетрагонной структуры, которая определяла способ его ветвления (посредством вершин i_v или сторон i_r тетрагона); k = b^-1 - коэффициент самоподобия генерируемой фрактальной F_N{4}ik-структуры; n - целочисленный индекс, характеризующий количество применяемых итераций, где n = 1 соответствует генератору [4, 5].

Фрактальная (хаусдорфова) размерность D решетки в соответствии с [1] может быть определена из соотношения

D = lnN (lnb)^-1,

где N - число тетрагонов в генераторе, b - сторона генератора (в относительных единицах). Тогда, если (b² - N) - число лакун в квадратном генераторе, то D = ln(b² - N) (lnb)^-1 - лакунарная размерность фрактальной решетки, характеризующая возможное дополнение данной фрактальной решетки до 2D тетрагонной R_{4}im-структуры. Это дополнение может образоваться в процессе формирования основной фрактальной F_N{4}ik-структуры за счет «захвата» структурных элементов с определенным набором (спектром) размерных характеристик и в этом случае также, по-видимому, будет обладать фрактальными свойствами.

В таблице приведены основные характеристики представителей двух групп фрактальных F_N{4},i,k-структур (при N равном 5 и 20).

Очевидно, в частности, что F_5{4},i,k-структуры основаны на разных фрагментах тетрагонных R_{4}im-структур, отличаются информационными кодами генераторов и их симметрией, однако по остальным характеристикам, в том числе и фрактальным размерностям, не идентифицируются. При этом также очевидно, что это существенно разные F_5{4},i,k-структуры. В определенной степени такой же вывод можно сделать и относительно F_20{4},i,k-структур.

Характеристики некоторых фрактальных F_{N{4}, i, k}-структур, основанных на фрагментах тетрагонных R_{4}im-структур

Характеристики генератора G = LN{4}, i, k					Размерность фрактальной структуры
Информационный код	Форма	Симметрия, G20	N	b2‒N	Локальная, DBL = D	Лакунарная, DG
L5{4},4(r),1/3		4 mm	5	4	1,465	1,262
L5{4},3(r),1/3		m	5	4	1,465	1,262
L5{4},2(r),1/3
L5{4},4(v),1/3		4 mm	5	4	1,465	1,262
L5{4},2(v),1/3		m	5	4	1,465	1,262
L5{4},1(v),1/3
L20{4},4(r),1/6		4 mm	20	16	1,465	1,262
L20{4},4(v),1/6
L20{4},4(r),1/6		4 mm	20	12	1,548	1,431
L20{4},4(v),1/6				52	1,114	1,770

Различными являются и дополнения этих структур. Это становится очевидным после сравнительного анализа их лакунарных спектров на диаграммах вида

,

где N_ln - число лакун l-й группы с определенным относительным диаметром  для предфрактала n-го поколения,

и в общем случае определяется из относительной площади лакун [4, 5].

Все F_5{4},I,k-структуры отличаются по своим лакунарным спектральным характеристикам, которые в определенном смысле можно считать диагностическими. На диаграммах вида (N/b²) - D значения фрактальных размерностей анализируемых F-структур и известной структуры F_8{4},3®,1/3, представляющей собой классический квадратный ковер Серпинского со значением k = 1/3 [3], находятся на одной прямой [4]. Необходимо отметить, что эта прямая занимает промежуточное положение между двумя другими прямыми, которые аппроксимируют два множества значений для соответствующих n-x членов гомологических рядов ковров Серпинского: F_{(6+2n){4}, I, 1/(3(2+n))}^1/2-структур и F_{(4+4n){4}, I, 1/(2+n)}-структур (n = 1, 2, 3,...) [2, 3].

Полученные с помощью итерационного модулярного дизайна на тригонной сетке детерминистические фрактальные решетки с F_{N{3}, i, k}-структурами также соотносятся с гомологической серией фрактальных структур вида F_{(6+2n){3}, I, 1/(3(2+n))}^1/2 и F_{(3+3n){3}, I, 1/(2+n)} и классической треугольной косынкой Серпинского F_{3{3},3(r),1/3} [2, 3].

В заключение отметим, что многообразие формально возможных детерминистических фрактальных решеток, полученных методом итерационного модулярного дизайна, определяется многовариантностью разбиения двумерного пространства (образами для которого могут служить сетки Кеплера и их производные) и многовариантностью выбранных в качестве генератора фрагментов соответствующих двумерных однослойных и двухслойных полигонных структур. Данному многообразию детерминистических фрактальных решеток изоморфно многообразие наборов их геометрико-топологических характеристик, в том числе лакунарных спектров. Последние могут быть использованы как аппроксиманты для интерпретации особенностей статистических распределений микро и наночастиц определенных фаз в поверхностных слоях гетерофазных материалов.

1. Лорд Э.Э., Маккей А.Л., Ранганатан С. Новая геометрия для новых материалов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 264 с.
2. Фракталы в физике / под ред. Л. Пьетронеро и Э. Тозатти. - М.: Мир, 1988. - 420 с.
3. Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1991. - 260 с.
4. Иванов В.В., Демьян В.В., Таланов В.М. Информация и структура в наномире: модулярный дизайн фрактальных структур в двумерном пространстве // Международный журнал экспериментального образования. - 2010. - №11. - С. 153-155.
5. Иванов В.В., Таланов В.М., Гусаров В.В. Информация и структура в наномире: модулярный дизайн двумерных наноструктур и фрактальных решеток // Наносистемы: Физика, Химия, Математика. - 2011. - Т. 2, №3. - С. 121-134.