Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,746

ESTIMATION OF A DROP IN THE HYDRODYNAMIC PRESSURE IN THE SLANTING HYDRAULIC JUMPING

Kochanenko V. N. 1 Mitsik M.F. 2
1 Donskoy Agrarian State University
2 Service sector and entrepreneurship Institute
Рассматривается явление косого гидравлического прыжка, при котором резко изменяются местные глубины и скорости бурного потока. Решения уравнения для угла схода косого прыжка ранее определялись с помощью номограмм. В настоящей работе данное уравнение сведено к алгебраическому уравнению пятой степени относительно тангенса угла схода косого прыжка. Для уравнения пятой степени проведен анализ его решений и с помощью пакета прикладных математических программ определено единственное решение, удовлетворяющее физике процесса. Приведена таблица расчета угла схода косого прыжка, которая уточняет значения такого угла, полученного ранее с помощью номограмм. Проведена оценка падения гидронапора в косом прыжке.
It is examined the phenomenon of the slanting hydraulic leap, with which sharply change local depths and speeds of the turbulent flow. The solutions of equation for the angle of tilt slanting leap previously were determined with the aid of the nomograms. In the present work this equation is brought to the algebraic equation of fifth degree relative to the tangent of the angle of tilt slanting leap. The analysis of its solutions is carried out for the equation of fifth degree and the unique solution, which satisfies physics of process, is determined with the aid of the batch of applications mathematical programs. The table of the calculation of the angle of tilt slanting leap, which refines the values of this angle, obtained earlier with the aid of the nomograms, is given. Is carried out the estimation of a drop in the hydraulic pressure in the slanting leap.
a drop in the hydrodynamic pressure
algebraic equation of fifth degree
the angle of tilt slanting leap
slanting hydraulic leap

Явление косого гидравлического прыжка возникает в бурном потоке, когда его струи относительно резко отклоняются на конечный угол внутрь потока [1]. Внешне косой прыжок проявляется в резком, почти скачкообразном повышении свободной поверхности. Фронт прыжка представляет собой полосу конечной ширины, но, учитывая ее относительно небольшую величину, прыжок схематически обозначается уступом (рис. 1).

kohanenko1.wmf

Рис. 1. Сечение потока в направлении, перпендикулярном фронту прыжка

Для изучения двухмерных в плане бурных потоков можно использовать законы «масса – количество движения», так как они применимы как к неразрывным, так и к разрывным условиям течения потока, а законы «масса – энергия» применимы только к потокам с непрерывными параметрами течения.

В настоящей работе, пользуясь парой уравнений «масса – количество движения», определим основные параметры косого гидравлического прыжка и оценим падение напора в интеграле энергии.

Этими вопросами занимался Б.Т. Емцев [1, 2], который вывел следующие зависимости:

kohan001.wmf (1)

kohan002.wmf (2)

kohan003.wmf (3)

где kohan004.wmf – относительная высота прыжка; F1 – число Фруда перед прыжком; F2 – число Фруда после прыжка; b – угол, характеризующий направление фронта гидравлического прыжка; d – угол набегания потока на боковую стенку русла.

Считая известными величины kohan005.wmf, по формулам (1) – (3) необходимо определить параметры kohan006.wmf.

Б.Т. Емцев построил номограмму косых гидравлических прыжков [1], которую необходимо использовать для определения угла kohan007.wmf в уравнении (3). Однако её использование вызывает определённые неудобства, к тому же значения угла набегания на стенку в таблице ограничены значением 60°, а на практике угол растекания потока, например, за круглыми трубами может значительно превышать 60°, следовательно использовать номограмму из [1], с. 114 невозможно.

В связи с этим в настоящей работе разработан численно-аналитический метод решения уравнения (3) с применением прикладных математических пакетов Maple 9.5.

Выразив sinb через tgb, перепишем уравнение (3) в форме

kohan008.wmf (4)

Избавимся в (4) от радикалов, преобразовав его к виду:

kohan009.wmf (5)

где kohan010.wmf

Преобразуем уравнение (5) к виду, содержащему параметр F1 [3]:

kohan011.wmf (6)

Сделаем замену переменной

kohan012.wmf. (7)

После замены (7) из уравнения (6) получим

kohan013.wmf

kohan014.wmf (8)

Опуская математические преобразования, приведем формулу для предельного значения критерия Фруда F1 при котором уравнение (7) имеет единственный положительный корень

kohan015.wmf. (9)

В табл. 1 приведены для сравнении расчетные значения предельного значения критерия Фруда kohan016.wmf и значения Фруда, взятые из номограмм Б.Т. Емцева kohan017.wmf.

Таблица 1

Сравнение расчетных предельных значений Фруда и по номограмме Б.Т. Емцева

d

0

30°

45°

50°

60°

A

0

0,577

1

1,192

1,732

kohan018.wmf

1

6,917

22,67

36,03

109,18

kohan019.wmf

1

7

22,55

36

110

Приведем уравнение (8) к стандартной форме

kohan020.wmf (10)

Запишем формулы для коэффициентов kohan021.wmf

kohan022.wmf

kohan023.wmf

kohan024.wmf (11)

kohan025.wmf

kohan026.wmf

Таким образом, при A>0 коэффициенты kohan027.wmf являются положительными, а коэффициенты kohan028.wmf могут менять знак.

Представим коэффициенты kohan029.wmf в форме

kohan030.wmf

kohan031.wmf (12)

Из (12) нетрудно видеть, что

kohan032.wmf.

Рассмотрим таблицу возможных знаков в наборе коэффициентов kohan033.wmf.

Таблица 2

№ п/п

a0

a1

a2

a3

a4

a5

1

+

+

+

+

+

+

2

+

+

0

+

+

+

3

+

+

+

+

+

4

+

+

0

+

+

5

+

+

+

+

Проиллюстрируем применение табл. 2 на примере. Известно из номограммы Б.Т. Емцева, что при kohan034.wmf и kohan035.wmf существует единственный корень kohan036.wmf. Установим, к какому варианту относится этот случай. Найдем коэффициенты kohan037.wmf.

kohan038.wmf

kohan039.wmf

Этот случай соответствует пятому варианту табл. 2. Уравнение (10) в этом случае может иметь два положительных корня, может иметь один совпадающий положительный корень и может не иметь положительных корней.

Для нахождения положительных корней уравнения (8) была написана программа в среде Maple 9.5. Входными данными для определения корней являются значения kohan040.wmf Выходной параметр – угол b.

Для поиска положительных корней уравнения (8) определяем верхнюю границу этих корней [3]

kohan041.wmf (13)

Таким образом, в заданном диапазоне [0;l] с помощью программы отыскиваются корни уравнения (8). Количество корней, и их значения определяются как графически, так и аналитически.

Результаты расчетов для широкого диапазона значений угла d приведены в табл. 3.

Таблица 3

Расчетные и табличные значения угла b

№ п/п

d

F1

kohan042.wmf

bтабл

bрасч

1

30°

16

0,46045

47°

46,15°

2

35°

25

0,41464

48°

48,13°

3

45°

49

0,47254

56°

55,8°

4

50°

56,25

0,68387

62°

61,94°

5

60°

111,5

1,98276

75°

75,0°

6

70°

200

11,6865

86,05°

7

72°

210

15,1456

87,16°

8

72°

220

16,9245

86,84°

9

75°

230

22,8348

87,8°

bтабл – значения угла направления косого гидравлического прыжка по номограмме Б.Т. Емцева; bрасч – расчетные значения угла направления косого прыжка.

Из табл. 3 нетрудно видеть, что значения bтабл и bрасч практически совпадают при kohan045.wmf, однако предложенная программа позволяет рассчитывать значение b и при kohan046.wmf что важно для практики.

Далее, определив значение угла b, находим значение параметра h из (1), а затем и параметры потока после прыжка

kohan047.wmf kohan048.wmf

kohan049.wmf (14)

Определим значения гидродинамического напора до удара струи потока о боковую стенку русла и после удара:

kohan050.wmf kohan051.wmf (15)

Определим относительные потери энергии при набегании струи потока на боковую стенку

kohan052.wmf

Результаты расчетов приводим в табл. 4.

Таблица 4

№ п/п

F1

d

h1, м

b

h2, м

F2

H1, м

H2, м

dН, %

1

16

30°

0,2

46,2°

0,722

2,304

1,80

1,553

13,68

2

25

35°

0,14

48,1°

0,67

2,456

1,89

1,93

21,01

3

49

45°

0,092

55,8°

0,709

2,083

2,346

1,447

38,33

4

56,25

50°

0,081

61,9°

0,718

1,47

2,359

1,246

47,17

5

111,5

60°

0,059

75°

0,822

0,57

3,348

1,058

68,4

6

200

70°

0,041

86,1°

0,798

0,075

4,141

0,828

80,01

7

210

72°

0,04

87,2°

0,799

0,052

4,24

0,82

80,66

8

220

72°

0,039

86,8°

0,798

0,058

4,33

0,821

81,04

9

230

75°

0,038

87,8°

0,796

0,041

4,408

0,812

81,58

Выводы

1. В работе предложен метод численного определения направления фронта косого гидравлического прыжка и потери напора для элементарных струй в точке набегания потока на боковую стенку.

2. Такой подход и является обоснованием выбора законов «масса – количество движения» для описания явления косого гидравлического прыжка.

3. Угол набегания крайней линии тока на боковую стенку в предложенной модели может изменяться в диапазоне kohan062.wmf что соответствует эксперименту.