Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,560

USING NETS FOR NUMERICAL SOLUTION OF THE LAPLACE EQUATION

Zhunussova L.Kh. 1 Toiganbayeva N.A. 2
1 Kazakh National Pedagogical University named after Abai
2 Kazakh National University named after AL-Farabi
Сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании технических устроиств и процессов можно развить на ряд элементарных: вычисление интергалов, решение дифференциальных уравнениии, определение экстремумов функции и т.д. Для таких задач уже разработаны методы решения, созданы компьютерные программы их решения В данной работе рассмотрены методы решения задач эллиптического типа. Несмотря на то, что постановка задач является классической, благодаря бурному развитию информационно-коммуникационным технологиям решение такого рода задач нетеряют свою актуальность. Применяется метод сеток. И проанализирован численный результат.
Complex computational problems arising in the modeling of technical devices and processes can be developed into a series of elementary: integral calculation, solution of differential equations defined extremum of the function, etc. For such problems, methods have been developed solutions, created a computer program to solve them. In this paper some methods for solving elliptic type. Despite the fact that setting goals is a classic, thanks to the rapid development of information and communication technologies solve such problems captive, its relevance. The method of nets. And analyze the numerical result.
mathematical modeling
computational mathematics
approximation
equation Laplassa
grid method.

Введение

Современные компьютеры дали в руки исследователей эффективное средство для математического моделирования сложных задач науки и техники. Поэтому количественные методы исследования в настоящее время проникли практически во все сферы человеческой деятельности.

Реализация математических моделей на компьютере осуществляется с помощью методов вычислительной математики, которая непрерывно совершенствуется вместе с прогрессом в области информационно-коммуникационных технологии[1],[2]. Рассмотрим уравнение Лапласса

missing image file (1)

Будем искать его решение, непрерывное в прямоугольнике и

missing image file

принимающее на границе Г заданные значения:

missing image file (2)

Задача, определяемая уравнением (1) и условием (2), называется задачей Дирихле (первой краевой задачей).

Постановка задачи.Для численного решения задачи (1), (2) введем в missing image file сетку

missing image file

missing image file missing image file missing image file

и обозначим через

missing image file

сеточную функцию, заданную на missing image file и missing image file – шаги сетки по координатам missing image file и missing image file.

Чтобы написать разностную схему для (1), (2), аппроксимируем каждую из производных missing image file на трехточечном шаблоне, полагая

missing image file

missing image file

знак ~ означает аппроксимацию. Пользуясь этими выражениями, заменим (1) разностным уравнением

missing image file (3)

или, в сокращенной записи,

missing image file

В безындексных обозначениях имеем

missing image file

missing image file (4)

К этому уравнению надо присоединить краевые условия

missing image file (5)

Границаmissing image file сетки состоит из всех узлов missing image file, кроме вершин прямоугольника (0, 0) missing image filemissing image file, которые не используются. Разностное уравнение (3) записано на пятиточечном шаблоне

missing image file

missing image file

Схему (4) часто называют схемой крест. Если missing image file т.е. сетки по missing image file и missing image file совпадают, то сетку missing image file называют квадратной. На такой сетке разностную схему (4) можно записать в виде

missing image file

Для однородного уравнения missing image file получаем

missing image file

т.е. значение в центре шаблона определяется как среднее арифметическое значений в остальных узлах шаблона[3],[4],[5].

Пусть missing image file – решение задачи Дирихле (1), (2), а missing image file – решение разностной задачи (4), (5). Рассмотрим погрешность

missing image file), missing image file

Подставляя missing image file в (4), (5), получаем для погрешности missing image file неоднородное уравнение

missing image file),missing image file) (6)

с однородным краевым условием

missing image file при missing image file (7)

здесь

missing image file (8)

есть невязка или погрешность аппроксимации для схемы (4) на решении missing image file уравнения (1).

Покажем, что

missing image file (9)

где

missing image file

В самом деле, учитывая формулы

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

находим

missing image file

Отсюда и из (1) следует (9).

Таким образом, схема (4) имеет второй порядок аппроксимации.

Рассмотрим на примере следующую задачу:

Найти непрерывную функцию и(х, у), удовлетворяющую внутри прямоугольной

области Ω = {( missing image file

уравнению Лапласа

missing image file

и принимающую на границе области W заданные значения, т. е.

missing image file missing image file,

missing image file missing image file,

missing image file missing image file,

missing image file missing image file,

Для ее решение составлена программа вычисление алгоритма метода сеток. Полученный численный расчет проанализированны и поведение решение показано на рисунке.

missing image file

Поведение решение

Заключение

Понятие аппроксимации, устойчивости и сходимости создали необходимую базу широкого поиска эффективных разностных схем для решения задач математической физики. Алгоритмы решения задач с помощью конечно-разностных методов, представляют собой сочетание методов построения разностных аналогов задач и методов их решения. Поэтому прогресс в теории конечно-разностных методов обязан взаимосогласованному развитию этих направлении исследовании.