Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,653

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ПОЛУЭМПИРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ

Семенчин Е. А. Стефанова Н. Г.

Рассмотрим численное решение полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии:

f  ,                     (1)

Для уравнения (1) должны быть заданы начальное условие

f                   (2)

 и граничные условия:

f       при z=0,                         (3)

если примесь полностью отражается подстилающей поверхностью;

f при z = 0                                    (4)

если примесь полностью поглощается подстилающей поверхностью

и

f           (5)

Преобразуем полуэмпирическое уравнение (1) к следующему виду:

f,              (6)

f, f, f    (7)

Краевая задача (1) - (4) описывает два принципиально различных физических процесса, один из которых является процессом переноса субстанции с ее сохранением вдоль траектории под действием ветра и силы тяжести, и описывается задачей:

1) f,              (8)

f, (9)

f                           (10)

Второй физический процесс связан с диффузией примеси в процессе распространения и описывается задачей:

2) f,    (11)

f,                 (12)

f при z=0,              (13)

f       (14)

С помощью методов теории расщепления [2] задача (8) - (10) переноса примеси редуцируется в свою очередь на каждом интервале разбиения [ti ,ti+1 ], i = 0,1,..., временного интервала [t0, T ], (причем временной интервал выбирается достаточно малым, чтобы свести до минимума возможную погрешность расщепления), к последовательному решению следующих задач:

1.1) перенос примеси вдоль оси ОХ:

f,              (15)

f, t Є [ti, ti+1 ]      (16)

f        (17)

1.2) перенос примеси вдоль оси ОY:

f,              (18)

f, t Є [ti, ti+1 ]       (19)

f       (20)

1.3.) перенос примеси вдоль оси ОZ:

f,                        (21)

f, t Є [ti, ti+1 ] (22)

f, (23)

где f- шаг дискретизации по времени.

Задача диффузии примеси (11) - (14) расщепляется на три последовательно решаемых задачи [2]:

2.1.) диффузия примеси вдоль оси ОХ:

f ,                      (24)

f,                      (25)

f при z=0,                         (26)

f        (27)

2.2.) диффузия примеси вдоль оси ОY:

f   ,             (28)

f  ,                         (29)

f  при z=0,                     (30)

f           (31)

2.3.) диффузия примеси вдоль оси ОZ:

f   ,                   (32)

f  ,                             (33)

f  при z=0,                           (34)

f             (35)

Решение краевых задач (15) - (35) осуществляется путем аппроксимации по формулам численного дифференцирования. Получающиеся при этом системы разностных уравнений решаются методом прогонки.

Рассмотрим численное решение первой задачи (15) - (17).

Запишем явную разностную схему:

f  ,                     (36)

f          (37)

Теперь запишем неявную разностную схему:

f           (38)

Находя полусумму явной и неявной схем, получим схему Кранка-Николсона

f        (39)

преобразуем (39):

f(40)

Для решения системы (40) эффективен метод прогонки, суть которого в следующем:

Пусть  f, Ci=1, f, f, тогда (40) запишем в виде :

f  , (i=0,1,2,....m)         (41)

Проведем линейную интерполяцию qi:

f  , (i = 0,1,2,....m-1)              (42)

f     (43)

подставляя (42) и (43) в (41) получим:

f

разделим (44):

f                      (44)

где f.

Отсюда находим ki+1, bi+1:

f  , f                 (45)

Примем k0=0 и b0=0. Рассчитаем все значения ki, bi. Теперь можно выполнить обратную прогонку: по значениям ki+1 , bi+1 вычислим все значения qi, положив qm=0.

Аналогично можно найти решение остальных задач (18) - (35), определяющих распространение примеси вдоль осей OX и OZ, учитывая, что для уравнений второго порядка коэффициенты f будут иметь вид:

f, f,f

f,

Тогда приращение решения исходного уравнения (6) запишется как сумма приращений решений каждого из уравнений (15) - (35).

Данная задача сводится к выяснению вопроса о необходимости задания граничных условий для тех или иных случаев.

Таблица 1. Зависимость концентрации примеси от времени

p

Проанализируем приведенные в таблице 1 расчеты.

Пусть граничные условия не учитываются (рассматривается задача Коши (1) - (2)).

В течение времени 1с.-12с., с момента действия источника, наблюдается возрастание концентрации с 1,31 кг/м3 до 1,79 кг/м3 ( см. строку № 2 таблицы 1); в течение 12с. - 46с. - уменьшение с 0,62 кг/м3 - 3,62Е- 05 кг/м3 .

Аналогичные результаты изменения концентрации до 46с. имеем также в случае, когда граничные условия (3), (4) в задаче (1) - (4) учитываются.

После 46с., с момента действия источника, наблюдается значительное расхождение значений концентрации q для задач (1) - (2) и (1) - (4). Без учета граничных условий: с 3,62Е- 05 кг/м3 до 0 кг/м3 ,с учетом этих же условий: а) поглощение с 1,29Е- 05 кг/м3 до 0 кг/м3, б) отражение с 3,39Е- 05 кг/м3 до 0 кг/м3.

Программная реализация вышеописанного численного решения полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии позволяет сделать вывод, что значения концентраций рассеяния примеси, полученные в результате расчетов в момент выброса ее в атмосферу, при задании граничных условий и без учета их имеют существенные различия.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Марчук Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. - М.: Наука, 1982. - 320 с.
  2. Марчук Г. И. Методы расщепления. - М.: Наука, 1988. - 264 с.

Библиографическая ссылка

Семенчин Е. А., Стефанова Н. Г. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ПОЛУЭМПИРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ // Успехи современного естествознания. – 2004. – № 9. – С. 73-75;
URL: http://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=13414 (дата обращения: 18.07.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252