Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,560

ВНУТРЕННЕКРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Жемухова З.М. 1
1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова» Министерства образования и науки РФ
Исследована внутреннекраевая задача для псевдопараболического уравнения третьего порядка в прямоугольной области. Путем редукции к уравнению Вольтерра второго рода доказана однозначная и безусловная разрешимость задачи.
уравнение Вольтерра
задача Гурса
функция Римана
внутреннекраевая задача
псевдопараболическое уравнение
1. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Когина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикладная математика и механика. – 1960. – Т. 24, №5. – С. 852-864.
2. Водахова В.А. Краевая задача с нелокальным условием А.М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Дифференциальные уравнения. – 1982. – Т.18, №2. – С. 280-285.
3. Репин О.А., Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Дифференциальные уравнения. – 2012. – Т.48, №8. – С. 1140-1149.
4. Елеев В.А., Кумыкова С.К. Внутреннекраевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками // Известия Кабардино – Балкарского научного центра РАН. – 2010. – №5. – С. 50-65.
5. Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения // Дифференциальные уравнения. – 1976. – Т. 12, №1. – С. 79-88.
6. Кумыкова С.К. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения. – 1981. – Т. 17, №1. – С. 81-90.
7. Кумыкова С.К., Нахушева Ф.Б. Об одной задаче для гиперболического уравнения вырождающегося внутри области // Дифференциальные уравнения. – 1978. – Т. 14, №1. – С. 50-65.
8. Нахушев А.М. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влажности // Дифференциальные уравнения. – 1979. – т. 15, №1. – С. 96-105.
9. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференциальные уравнения. – 1982. – т.18, №4. – С. 689-700.
10. Colton D.L. On the analytic theory of pseudoparabolic equations // Quart. J. Math. – 1972. – Vol. 23. – Р. 179-192.

Решение многих практически важных задач, возникающих при исследовании процессов фильтрации жидкости в трещиновато-пористых средах [1], [9], движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах [10] связано с необходимостью исследования нелокальных задач для псевдопараболических уравнений [2].

Для модельного псевдопараболического уравнения А.М. Нахушевым в [8] была сформулирована краевая задача с нелокальным условием.

Цель исследования: доказать существование и единственность решения нелокальной задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка.

Постановка задачи. Пусть

zemuh001.wmf

конечная область плоскости переменных xyt zemuh003.wmf интервал zemuh004.wmf прямой zemuh005.wmf Для общего псевдопараболического уравнения

zemuh006.wmf

в области D ставится задача.

Задача. Найти регулярное в области zemuh008.wmf решение zemuh009.wmf уравнения (1) из класса zemuh010.wmf удовлетворяющее условиям:

zemuh011.wmf (2)

zemuh012.wmf (3)

zemuh013.wmf (4)

где zemuh014.wmf – произвольно фиксированные точки из интервала zemuh015.wmf γ = const f(t) и h(x) непрерывные функции.

Справедлива следующая теорема.

Теорема: Если коэффициенты уравнения (1) и заданные функции удовлетворяют условиям

zemuh018.wmf

zemuh019.wmf

а также

zemuh020.wmf

то задача (1)-(4) разрешима и притом единственным образом.

Доказательство. Справедливость теоремы докажем методом функции Римана [8].

В области

zemuh021.wmf

рассмотрим характеристическую задачу Гурса [3]

zemuh022.wmf (5)

zemuh023.wmf

zemuh024.wmf (7)

для уравнения (1), где zemuh025.wmf – неизвестная пока функция из класса zemuh026.wmf Пусть zemuh027.wmf – функция Римана, введенная в [8], которая однозначно определяется следующими требованиями:

zemuh028.wmf

zemuh029.wmf

где zemuh030.wmf – решение следующей задачи:

zemuh031.wmf

zemuh032.wmf – произвольная точка области zemuh033.wmf.

Единственность и существование функции Римана zemuh034.wmf доказывается методом редукции к нагруженным интегро-дифференциальным уравнениям [7].

Интегрируя тождество

zemuh035.wmf

zemuh036.wmf (8)

по области zemuh037.wmf с учетом свойств функции Римана zemuh038.wmf и условий (5) – (7), получим

zemuh039.wmf

zemuh040.wmf

zemuh041.wmf

zemuh042.wmf

zemuh043.wmf (9)

Формула (9) дает явное представление решения задачи Гурса (1), (5)-(7).

Для нахождения неизвестной функции zemuh044.wmf по аналогичной схеме в zemuh045.wmf рассмотрим характеристическую задачу Гурса

zemuh046.wmf (10)

zemuh047.wmf (11)

zemuh048.wmf (12)

для уравнения (1).

Пусть zemuh049.wmf – функция Римана, удовлетворяющая условиям:

zemuh050.wmf

zemuh051.wmf

где zemuh052.wmf – решение задачи [5]:

zemuh053.wmf

zemuh054.wmf – произвольная точка области zemuh055.wmf.

Интегрируя тождество (9) по области zemuh056.wmf и пользуясь свойством функции Римана zemuh057.wmf получим

zemuh058.wmf

zemuh059.wmf

zemuh060.wmf

zemuh061.wmf

zemuh062.wmf (13)

Формула (13) дает представление решения задачи Гурса (1), (10)-(12).

Тогда при выполнении условия zemuh063.wmf теоремы, выполняется неравенство

zemuh064.wmf

С учетом (14), используя условие склеивания (4), из соотношений (9) и (13) получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно ϕ(τ)

zemuh066.wmf (15)

где

zemuh067.wmf

Так как с учетом гладкости известных функций

zemuh068.wmf,

то на основании свойств функций Римана zemuh069.wmf и zemuh070.wmf и условия теоремы, то единственное регулярное решение zemuh071.wmf интегрального уравнения Вольтерра второго рода (15) из класса zemuh072.wmf представимо в виде

zemuh073.wmf (16)

где zemuh074.wmf– резольвента ядра zemuh075.wmf.

После определения функции zemuh076.wmf формулой (16) исследуемая задача распадается на две характеристические задачи (5) – (7) и (10) – (12) для псевдопараболического уравнения (1) единственные регулярные решения которых даются соответственно, формулами (9) и (13).

Из единственности регулярного решения указанных характеристических задач Гурса для уравнения (1) следует справедливость теоремы.

Нелокальные внутреннекраевые задачи для уравнений смешанного типа исследовались также в работах [3-7].


Библиографическая ссылка

Жемухова З.М. ВНУТРЕННЕКРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ // Успехи современного естествознания. – 2013. – № 11. – С. 141-144;
URL: http://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=33137 (дата обращения: 20.09.2018).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252