Многие важные проблемы динамики плазмы, теории тепло- и массо – обмена в капиллярно-пористых средах, а также теории околозвуковых течений идеального газа и жидкости сводятся к локальным и нелокальным краевым задачам для гиперболического и смешанного типов уравнений, когда носителями граничных условий являются части характеристических кривых. Анализ литературы по гиперболическим уравнениям переноса влаги в пористых средах показал, что наиболее адекватными реальной ситуации моделями являются математические модели, в основе которых лежит уравнение А.В. Лыкова с младшим членом, учитывающим движение почвенной влаги под действием гравитационных сил
.
Это уравнение предложено А.В. Бицадзе [1] как пример уравнения, для которого при 
корректна по Адамару задача Коши, несмотря на нарушение известного условия Геллерстедта, а А.М. Нахушевым [5] как пример уравнения, для которого при 
задача Дарбу не является корректной и характеристики не являются равноправными как носителя граничных данных. Вследствии прикладной важности возникла необходимость исследования нелокальных задач для уравнения А.В. Лыкова.
Цель: исследовать вопросы разрешимости нелокальной задачи с операторами дробного интегро-дифференцирования в краевом условии произвольного порядка и выяснить эффект влияния коэффициента при младшей производной на существование и единственность решения задачи.
Постановка задачи. Рассматривается уравнение влагопереноса Бицадзе – Лыкова
, (1)
где a – действительная постоянная, причем 
, в характеристическом треугольнике D, ограниченном характеристиками
уравнения (1) и отрезком 
прямой 
.
Задача. Найти регулярное в области D решение u(x,y) уравнения (1) из класса 
, удовлетворяющее краевым условиям
(2)
(3)
где 
– заданные непрерывные функции, причем 
– точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки 
с характеристиками AC, BC соответственно; a, b – постоянные, 
– операторы дробного в смысле Римана – Лиувилля интегро – дифференцирования, определяемые по формулам [12]
Задача (1)-(3) относится к классу краевых задач со смещением A.M. Нахушева [5]. Для обобщенного уравнения Трикоми задача (2)–(3) была исследована Оразовым И. [11] для различных интервалов изменения постоянных a, b. Нелокальные задачи со смещением для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений исследовались также в работах [2-5]–[7-11].
Доказательство существования решения задачи. Известно [1], что решение задачи Коши для уравнения (1) в области D при 
представимо в виде
(4)
где 
.
Удовлетворив (4) краевому условию (3), после преобразований получим уравнение
(5)
где
Теорема. Если
(6)
и выполнены условия
(7)
где 
(8)
причем 
(9)
то задача (1)-(3) имеет более одного решения.
При выполнении условий (6) теоремы уравнение (5) примет вид
(10)
где
В случае, когда 
из (10) можно определить
где k=0,1,…, т.е. решение задачи (1)-(3) существует и единственно.
Краткости ради исследуем вопрос разрешимости уравнения (10) при k=0 и k=1. С учетом свойств операторов дробного интегро-дифференцирования после соответствующих вычислений можно заключить, что правая часть g(x) уравнения (10) представима в виде
,
где 
.
При выполнении условий (8) теоремы вопрос разрешимости задачи при k=0 эквивалентно редуцирован к вопросу разрешимости следующего интегро-дифференциального уравнения относительно n(x):
(11)
где 
В этом случае справедливо неравенство 
. Рассмотрим однородное уравнение, соответствующее (11)
(12)
Введем новую неизвестную функцию
(13)
и, применяя формулу обращения
интегрального уравнения Абеля
где 
К (13), в результате получим уравнение
Подставляя последнее в (12) будем иметь
(14)
Если обозначить
(15)
то с учетом равенства j(1)=С*, будем иметь
(16)
Подставляя (15), (16) в (14), получим при 
, что однородная задача (1)-(3), при k=0 эквивалентно в смысле разрешимости уравнению Вольтерра 2-го рода
(17)
где 
Методом последовательных приближений можно показать, что уравнение (17) имеет нетривиальное решение в классе функций
где 
.
Таким образом, при k=0 решение задачи (1)-(3) неединственно.
Докажем теперь существование решения задачи (1)-(3) в случае k=0. Уравнение (11) в результате введения функции j(x), а затем и Y(x) по формулам (13), (15) принимает вид
(18)
где
С учетом гладкости известных функций правая часть уравнения (18) представима в виде
где 
.
В этом классе функций уравнение (18) имеет нетривиальное решение Y(x). По найденному Y(x) определяется j(x), а затем n(x). Таким образом, задача разрешима и ее решение задается формулой (4).
Исследуем теперь вопрос разрешимости задачи (1)-(3) при k=1. В этом случае выполняется неравенство 
. И уравнение (10) при выполнении условий теоремы имеет вид
(19)
Покажем, что однородное уравнение, соответствующее (19), имеет нетривиальное решение. В самом деле, рассмотрим уравнение
(20)
Вычислениями, аналогичными случаю k=0 уравнение (20) преобразуется к виду:
(21)
где
.
Уравнение (21) есть интегральное уравнение Вольтера второго рода с непрерывной правой частью 
и непрерывным ядром 
и, следовательно, оно имеет единственное непрерывное на 
решение 
, определяемое формулой
где R(x,t,b) – резольвента ядра 
Таким образом, неединственность решения задачи при k=1 доказана.
Установим существование решения задачи при k=1. С учетом ранее введенных обозначений и проведенных преобразований уравнение (19) примет вид
(22)
где
На основании ранее приведенных исследований заключаем, что правая часть (22) представима в виде
где 
В этом классе функции уравнение (22) имеет нетривиальное решение Y(x). По найденному Y(x) можно определить n(x). Следовательно, при k=1 задача (1)-(3) разрешима и ее решение задается формулой (4)
По найденному n(x) решение u(x,y) задачи (1) – (3) в области D определяется по формуле (4).
Библиографическая ссылка
Гучаева З.Х., Бесланеева Л.Ю. НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРОМИ ДРОБНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В КРАЕВОМ УСЛОВИИ // Успехи современного естествознания. – 2014. – № 3. – С. 81-86;URL: https://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=33261 (дата обращения: 19.04.2024).