Рассмотрим численное решение полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии:
, (1)
Для уравнения (1) должны быть заданы начальное условие
(2)
и граничные условия:
при z=0, (3)
если примесь полностью отражается подстилающей поверхностью;
при z = 0 (4)
если примесь полностью поглощается подстилающей поверхностью
и
(5)
Преобразуем полуэмпирическое уравнение (1) к следующему виду:
, (6)
,
,
(7)
Краевая задача (1) - (4) описывает два принципиально различных физических процесса, один из которых является процессом переноса субстанции с ее сохранением вдоль траектории под действием ветра и силы тяжести, и описывается задачей:
1) , (8)
, (9)
(10)
Второй физический процесс связан с диффузией примеси в процессе распространения и описывается задачей:
2) , (11)
, (12)
при z=0, (13)
(14)
С помощью методов теории расщепления [2] задача (8) - (10) переноса примеси редуцируется в свою очередь на каждом интервале разбиения [ti ,ti+1 ], i = 0,1,..., временного интервала [t0, T ], (причем временной интервал выбирается достаточно малым, чтобы свести до минимума возможную погрешность расщепления), к последовательному решению следующих задач:
1.1) перенос примеси вдоль оси ОХ:
, (15)
, t Є [ti, ti+1 ] (16)
(17)
1.2) перенос примеси вдоль оси ОY:
, (18)
, t Є [ti, ti+1 ] (19)
(20)
1.3.) перенос примеси вдоль оси ОZ:
, (21)
, t Є [ti, ti+1 ] (22)
, (23)
где - шаг дискретизации по времени.
Задача диффузии примеси (11) - (14) расщепляется на три последовательно решаемых задачи [2]:
2.1.) диффузия примеси вдоль оси ОХ:
, (24)
, (25)
при z=0, (26)
(27)
2.2.) диффузия примеси вдоль оси ОY:
, (28)
, (29)
при z=0, (30)
(31)
2.3.) диффузия примеси вдоль оси ОZ:
, (32)
, (33)
при z=0, (34)
(35)
Решение краевых задач (15) - (35) осуществляется путем аппроксимации по формулам численного дифференцирования. Получающиеся при этом системы разностных уравнений решаются методом прогонки.
Рассмотрим численное решение первой задачи (15) - (17).
Запишем явную разностную схему:
, (36)
(37)
Теперь запишем неявную разностную схему:
(38)
Находя полусумму явной и неявной схем, получим схему Кранка-Николсона
(39)
преобразуем (39):
(40)
Для решения системы (40) эффективен метод прогонки, суть которого в следующем:
Пусть , Ci=1,
,
, тогда (40) запишем в виде :
, (i=0,1,2,....m) (41)
Проведем линейную интерполяцию qi:
, (i = 0,1,2,....m-1) (42)
(43)
подставляя (42) и (43) в (41) получим:
разделим (44):
(44)
где .
Отсюда находим ki+1, bi+1:
,
(45)
Примем k0=0 и b0=0. Рассчитаем все значения ki, bi. Теперь можно выполнить обратную прогонку: по значениям ki+1 , bi+1 вычислим все значения qi, положив qm=0.
Аналогично можно найти решение остальных задач (18) - (35), определяющих распространение примеси вдоль осей OX и OZ, учитывая, что для уравнений второго порядка коэффициенты будут иметь вид:
,
,
,
Тогда приращение решения исходного уравнения (6) запишется как сумма приращений решений каждого из уравнений (15) - (35).
Данная задача сводится к выяснению вопроса о необходимости задания граничных условий для тех или иных случаев.
Таблица 1. Зависимость концентрации примеси от времени
Проанализируем приведенные в таблице 1 расчеты.
Пусть граничные условия не учитываются (рассматривается задача Коши (1) - (2)).
В течение времени 1с.-12с., с момента действия источника, наблюдается возрастание концентрации с 1,31 кг/м3 до 1,79 кг/м3 ( см. строку № 2 таблицы 1); в течение 12с. - 46с. - уменьшение с 0,62 кг/м3 - 3,62Е- 05 кг/м3 .
Аналогичные результаты изменения концентрации до 46с. имеем также в случае, когда граничные условия (3), (4) в задаче (1) - (4) учитываются.
После 46с., с момента действия источника, наблюдается значительное расхождение значений концентрации q для задач (1) - (2) и (1) - (4). Без учета граничных условий: с 3,62Е- 05 кг/м3 до 0 кг/м3 ,с учетом этих же условий: а) поглощение с 1,29Е- 05 кг/м3 до 0 кг/м3, б) отражение с 3,39Е- 05 кг/м3 до 0 кг/м3.
Программная реализация вышеописанного численного решения полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии позволяет сделать вывод, что значения концентраций рассеяния примеси, полученные в результате расчетов в момент выброса ее в атмосферу, при задании граничных условий и без учета их имеют существенные различия.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Марчук Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. - М.: Наука, 1982. - 320 с.
- Марчук Г. И. Методы расщепления. - М.: Наука, 1988. - 264 с.
Библиографическая ссылка
Семенчин Е. А., Стефанова Н. Г. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ПОЛУЭМПИРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ // Успехи современного естествознания. – 2004. – № 9. – С. 73-75;URL: https://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=13414 (дата обращения: 16.08.2024).