Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,746

Уравнение

L(u) = sgn y|y|m uxx + uyy = 0,                                  (1)

m>0, рассмотрим в области D, ограниченной гладкой кривой Г, лежащей в полуплоскости y>0, с концами А(0,0), В(1,0), а в полуплоскости y<0 отрезками характеристик

f,

f

Введем обозначения D+ = D ∩ {y>0}, D- = D ∩ {y<0}.

Задача Тв. . Найти функцию u(x,y) со свойствами:

1) u(x,y) ∈ C(D);

2) uxx,uyy ∈C(D+ ∪D-);

u ∈ C(D), L(u) = 0 в D+ ∪D-

3) u(x,y) подчиняется краевым условиям

u|г = φ (s),                                                   (2)

s - длина дуги кривой Г, отсчитываемой от точки В.

u|АС = f(x), x ∈ [0; f]                             (3)

4) u(x,y) подчиняется условию сопряжения

v+(x) = H-(x), x ∈ (0,1),                           (4)

v+(x) =f uy, x ∈ (0,1),                       (5)

H-(x) = f(x - t)-2qv-(t)dt, x ∈ (0,1),                    (6)

v-(x) = f uy, x ∈ (0,1),                        (7)

 Теорема единственности поставленной задачи доказывается с применением утверждений леммы Бабенко [1] и леммы.

Лемма. Если u(x,y) ∈ C(D) - решение уравнения (1) в области D- таково, что u(x,y) = f (x) достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке х0, ∈ (0,1), при этом u|AC = 0 и f 2q, то Н-0)>0 (H-(x0)<0).