Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,653

BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH A SHIFT FOR DEGENERATE HYPERBOLIC EQUATION

Zhemukhova Z.M. 1 Kugotova M.N. 1
1 FGBOU VPO «Kabardin-Balkar state university n.a. Kh.M. Berbekov»
Исследована краевая задача со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения. При определенных условиях неравенственного типа на известные функции доказана теорема единственности. Вопрос существования решения задачи сведен к вопросу разрешимости сингулярного интегрального уравнения, которое редуцируется к уравнению Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого заключается из единственности решения задачи.
We investigated a boundary value problem with a shift for degenerate hyperbolic equation. At restrictions inequality type on the known functions is proved the theorem of uniqueness. Existence of the solution is proved by way to reductions to equation of Fredholm second kind the unconditional solvability which follows from uniqueness of the solution of the problem.
a boundary value problem with a shift
operator of fractional differentiation
operator of fractional integration
Fredholm equation
singular integral equation

Теория краевых задач для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными. Интерес к таким уравнениям объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и многочисленными практическими приложениями в газовой динамике, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике, в теории электронного рассеивания, в математической биологии. Они имеют большое значение при математическом моделировании нефтяных пластов, фильтраций грунтовых вод, переноса тепла и массы в объекте, имеющего сложное строение, электрических колебаний в проводах и других областях.

Задачи со смещением существенно обобщают классические задачи для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений, имеют многомерные аналоги и содержат широкий класс корректных самосопряженных задач.

Цель исследования: доказать существование и единственность решения задачи со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения.

Постановка задачи. Рассмотрим уравнение

|y|l uxx – uyy = 0, (1)

где l = m при y > 0 и l = n при y < 0, m, n –положительные постоянные, в конечной области Ω, ограниченной характеристиками AC, BC, AD, BD уравнения (1), выходящими из точек A(0, 0), B(1, 0).

Пусть Ω1 = Ω∩(y > 0), Ω2 = Ω∩(y < 0), J – интервал 0 < x < l прямой y = 0.

Задача. Найти решение уравнения (1)

Eqn1.wmf

из класса Eqn2.wmf, удовлетворяющее краевым условиям

Eqn3.wmf (2)

и условию сопряжения

Eqn4.wmf (3)

где ε1 = m/(2m + 4), ε2 = n/(2n + 4); Eqn5.wmf Eqn6.wmf – точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x, 0) ∈ J, с характеристиками AC, AD, BC, BD соответственно αi(x), βi(x), γi(x), α(x), β(x) – заданные функции, причем

Eqn7.wmf

αi(x), βi(x), Eqn8.wmf α(x), Eqn9.wmf Eqn10.wmf – операторы дробного в смысле Римана – Лиувилля интегро-дифференцирования от функции f(х) [9].

Задача (1)–(3) относится к классу краевых задач со смещением [6]. При α2(x) = β1(x) = 0 существование и единственность решения задачи (1)–(3) были доказаны С.К. Кумыковой и Ф.Б. Нахушевой [2].

Единственность решения задачи

Пусть, как и принято, τ(x) = u(x, 0)

Eqn11.wmf

Выписывая решение задачи Коши для уравнения (1) в областях Ω1 и Ω2 [1], а затем, удовлетворив его краевым условиям (2), получим соотношения между τ(x) и νi(x), i = 1, 2

Eqn12.wmf (4)

Eqn13.wmf (5)

принесенные на J из областей Ω1 и Ω2, где Γ(α) – гамма функция Эйлера [4].

Принимая во внимание равенства [3]

Eqn14.wmf

Eqn15.wmf

соотношения (5)–(4) перепишем в виде

Eqn16.wmf (6)

Eqn17.wmf (7)

Теорема. В области Ω не может существовать более одного решения задачи, если выполнено либо

Eqn18.wmf (8)

либо

α(x) ≡ 1,

Eqn19.wmf (9)

Eqn20.wmf (10)

Доказательство. При выполнении (8) единственность решения задачи (1)–(3) установлена в [2]. Докажем, что решение задачи единственно при выполнении условий (9), (10). Для этого покажем, что интеграл

Eqn21.wmf

не может быть отрицательным.

Полагая γ2(x) = 0, перепишем (7) в виде

Eqn22.wmf

где

Eqn23.wmf

Eqn24.wmf

Eqn25.wmf

Рассмотрим интеграл

Eqn26.wmf (11)

Воспользуемся формулой [4] для гамма функции

Eqn27.wmf

Полагая в ней k = |x – ξ|, μ = 2ε2, получим

Eqn28.wmf

Откуда, поменяв порядок интегрирования в (11), будем иметь

Eqn29.wmf

С учетом ai(1) = bi(0) = 0 , вычислениями, аналогичными [2], получим

Eqn30.wmf (12)

Нетрудно видеть, что при выполнении условий теоремы Eqn31.wmf Eqn32.wmf и, следовательно, J* ≥ 0 .

При γ1(x) = 0 из (6) также получается неравенство

Eqn33.wmf

Так как при α(x) ≡ 1, β(x) ≡ 0, ν1(x) = ν2(x), то

Eqn34.wmf

Таким образом, левая часть (12) равна нулю. Поскольку слагаемые справа неотрицательны, то они также равны нулю. В частности,

Eqn35.wmf

Так как Eqn36.wmf, то

Eqn37.wmf

для всех t ∈ (0,∞), в частности, при t = 2πk, k = 0, 1, 2, … При этих значениях t функции sin tξ и cos tξ образуют полную ортогональную систему функций в L2.

Следовательно, νi(ξ) = 0 почти всюду, а так как они непрерывны по условию, то νi(ξ) = 0 всюду. Отсюда из (6), (7) при γi(x) = 0, i = 1, 2, заключаем, что τ(x) = 0 и, следовательно, ui(x, y) = 0 как решения задачи Коши в областях Ω1, Ω2 с нулевыми данными на J.

Существование решения задачи

Исключая τ(x) из (6) и (7), с учетом условия сопряжения (3), получим уравнение

Eqn38.wmf (13)

где

Eqn39.wmf

Eqn40.wmf

Пусть a2(x) ≠ 0. подействовав на обе части (13) оператором Eqn41.wmf, будем иметь:

Eqn42.wmf (14)

Существование решения задачи исследовано в случаях m = n и n > m. При n > m уравнение (14) сведено к сингулярному интегральному уравнению [5]

Eqn43.wmf (15)

а при n = m совпадает с сингулярным интегральным уравнением

Eqn44.wmf (16)

Из свойств функций αi(x), βi(x), γi(x), α(x), β(x), i = 1, 2 , заключаем, что правая часть уравнений (15), (16) принадлежат классу C1(J), ,причем при x → 0 и x → 1 может обращаться в бесконечность порядка не выше 1 – 2εi. Ядра уравнений (15), (16)

Eqn45.wmf.

Условие Eqn46.wmf гарантирует существование регуляризатора, приводящего уравнения (15), (16) к уравнению Фредгольма второго рода, где

Eqn47.wmf

при n > m, а при n = m

Eqn48.wmf

Из возможности приведения задачи к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма второго рода и единственности искомого решения следует существование решения поставленной задачи. По найденному ν2(x) можно найти ν1(x), а следовательно и τ(x). Решение задачи (1)–(3) может быть найдено как решение задачи Коши в областях Ω1 и Ω2.

Отметим, что задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов с операторами обобщенного дробного интегро-дифференцирования исследовались в работах [7, 8].