Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,746

DETERMINATION OF ELASTIC STRESSES IN THE DAM KOYNA BASE USING THE WAVE THEORY OF SEISMIC SAFETY

Musayev V.K. 1
1 MESI
Рассматриваются некоторые вопросы численного моделирования сейсмической безопасности бетонной плотины Койна с грунтовым основанием при волновых воздействиях. Основание моделируется в виде полуплоскости. Для решения поставленной задачи применяется волновая теория сейсмической безопасности. Сейсмическое воздействие моделируется в виде функции Хевисайда. С помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями привели к линейной задаче Коши. Получена явная двухслойная конечноэлементная схема. Максимальное растягивающее напряжение возникает в верхней части задней области контура плотины. Упругое контурное напряжение на гранях плотины является почти зеркальным отражением одна другой, то есть антисимметричным. Выполненные исследования динамического напряженного состояния показали характер разрушений, наблюдаемых в плотине Койна после землетрясения.
Covers some aspects of numerical simulation of the seismic safety of concrete dams Koyna ground base at wave impacts. The Foundation is modeled as a half-plane. To solve this problem is applied wave theory of seismic safety. The seismic excitation is modeled as a function of Heaviside. Using the finite element method in displacements, a linear problem with initial and boundary conditions has led to the linear Cauchy problem. Received explicit two-layer finite-element scheme. The maximum tensile stress occurs in the upper part of the posterior contour of the dam. Elastic loop voltage on the faces of the dam is almost a mirror reflection of one another, that is antisymmetric. Performed the analysis of the dynamic stress state showed the nature of the destruction observed in the dam Koyna after the earthquake.
mathematical modeling
dual voltage
concrete dam Koyna
elastic half-plane
the wave theory of seismic safety
earthquake
dynamic elasticity theory
the Cauchy problem
the displacement
velocity
displacement
acceleration
seismic impact
the Heaviside function
finite element method
complex programs
anchor point
an explicit two-layer finite element scheme
the pattern of destruction

Постановка задачи при нестационарных волновых сейсмических воздействиях

Рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY, которому в начальный момент времени t = 0 сообщается механическое нестационарное импульсное воздействие.

Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях.

Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид

Musaev F1.eps(1)

 

где σx, σy, τxy – компоненты тензора упругих напряжений; εx, εy и γxy – компоненты тензора упругих деформаций; u и v – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; ρ – плотность материала; Musaev F2.1.eps – скорость продольной упругой волны; Musaev F2.2.eps – скорость поперечной упругой волны; ν – коэффициент Пуассона; E – модуль упругости; Musaev F2.3.eps – граничный контур тела Г.

Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.

Разработка методики и алгоритма

Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями (1) используем метод конечных элементов. В работах [2, 4] приведена информация о постановке волновых задах теории упругости. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов.

Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений.

Чтобы выполнить динамический расчет методом конечных элементов, нужно иметь матрицу жесткости и матрицу инерции конечного элемента.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

Musaev F5.eps (2)

 

где Musaev F3%2c1.eps – диагональная матрица инерции; Musaev F3%2c2.eps – матрица жесткости; Musaev F3%2c3.eps – вектор узловых упругих перемещений; Musaev F4.eps – вектор узловых упругих скоростей перемещений; Musaev F3%2c5.eps – вектор узловых упругих ускорений; %d0%98%d0%b7%d0%be%d0%b1%d1%80%d0%b0%d0%b6%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b5%202069456.EPS – вектор внешних узловых упругих сил.

Соотношение (2) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями.

Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями (1) привели к линейной задаче Коши (2).

Для интегрирования уравнения (2) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду

Musaev F3%2c7.eps (3)

Интегрируя по временной координате соотношение (3) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему

Musaev F3%2c8.eps (4)

Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях получены с помощью принципа возможных перемещений и конечноэлементного варианта метода Галеркина.

Общая теория численных уравнений математической физики требует для этого наложение определенных условий на отношение шагов по временной координате Δt и по пространственным координатам, а именно

Musaev F3%2c9.eps  (5)

 

где Δl – длина стороны конечного элемента.

Устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы в перемещениях исследуем с помощью численного эксперимента. Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы.

Достоверность рассматриваемого численного метода приведена в следующих работах [2, 6, 8-10].

Определение нестационарных волновых напряжений в плотине Койна

Рассматривается задача о воздействии плоской продольной упругой волны на плотину Койна с основанием (рис. 1). В работах [1, 3, 5, 7] приведена информация о численном моделировании нестационарных волн напряжений в плотинах. Начальные условия приняты нулевыми.

В сечении на расстоянии 1,5H (рис. 1) (H = 103 м) при 0≤n≤25 (n = t/Δt) скорости упругих перемещений Musaev F3%2c11.eps и Musaev F3%2c12.eps изменяются линейно от 0 до Musaev F3%2c13.eps и Musaev F3%2c14.eps, а при n > 25Musaev F3%2c13.eps и Musaev F3%2c15.eps (σ0 = 0,1 МПа (1 кгс/см2)).

Контур плотины IJKABCDEF (кроме точки Е) предполагается свободным от нагрузок при t > 0. Граничные условия для контура FGHI при t > 0 Musaev F3%2c16.epsОтраженные волны от контура FGHI не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 900.

Исследуемая расчетная область имеет 522 узловые точки. Расчеты проведены при следующих исходных данных: H = 103 м; Δ t = 0,104·10-2 c; E = 0,36·104 MПа (0,36·105 кгс/см2); ν = 0,36; ρ = 0,122·104 кг/м3 (0,122·10-5 кгс с2/см4); Сρ = 1841 м/с.

На рис. 2-7 показано изменение контурных напряжений Musaev F3%2c10.eps в плотине Койна в точках 1-6 во времени t/Δt.

На рис. 8 показано изменение контурных напряжений в точках 3 и 6 на контуре плотины Койна во времени t/Δt.

 


Musaev1.tif

Рис. 1. Постановка задачи для системы сооружение-основание (плотина Койна)

Musaev2.tif

 

Рис. 2. Изменение упругого контурного напряжения Musaev F3%2c10.eps в точке 1 на контуре плотины Койна
во времени t/Δt

Musaev3.tif

Рис. 3. Изменение упругого контурного напряжения Musaev F3%2c10.eps в точке 2 на контуре плотины Койна
во времени t/Δt

Musaev4.tif

 

Рис. 4. Изменение упругого контурного напряжения Musaev F3%2c10.eps в точке 3 на контуре плотины Койна
во времени t/Δt

Musaev5.tif

 

Рис. 5. Изменение упругого контурного напряжения Musaev F3%2c10.eps в точке 4 на контуре плотины Койна
во времени t/Δt

Musaev6.tif

Рис. 6. Изменение упругого контурного напряжения Musaev F3%2c10.eps в точке 5 на контуре плотины Койна
во времени t/Δt

Musaev7.tif

 

Рис. 7. Изменение упругого контурного напряжения Musaev F3%2c10.eps в точке 6 на контуре плотины Койна
во времени t/Δt

Musaev8.tif

 

Рис. 8. Изменение упругого контурного напряжения Musaev F3%2c10.eps в точках 3 и 6 на контуре плотины Койна
во времени t/Δt

Выводы

Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы:

1. Максимальное растягивающее напряжение возникает в верхней части задней области контура плотины.

2. Упругое контурное напряжение на гранях плотины является почти зеркальным отражением одна другой, то есть антисимметричным.

3. Выполненное исследование показало, что результаты численных исследований соответствуют характеру разрушений, наблюдаемых в плотине Койна после землетрясения.