Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,746

1 1
1

В работе [1] предложено условие пластичности

| s1 − s3 |n + | s2 − s3 |n + | s3 − s1 |n= 2k n, (1)

где s1, s2, s3 – собственные значения девиатора напряжений s. При n = 1 и n→∞ это условие переходит в условие пластичности Треска, а в случае n = 2 получаем условие Мизеса.

Покажем, что при n = 2m условие (1) можно выразить через главные инварианты девиатора напряжений J2 и J3.

Теорема. Справедлива формула

2(s1 − s2 )2m + (s1− s3)2m + (s2− s3)2m

A1.eps

Доказательство. Используя биномиальное разложение и группируя слагаемые специальным образом, приходим к равенству

A2.eps

 

A3.eps


 

Отсюда с учетом соотношения

A4.eps

нетрудно вывести требуемую формулу.

С помощью теоремы Гамильтона-Кэли получаем рекуррентную формулу

A5.eps

Поэтому, принимая во внимание tr (s2) = 2J2, tr (s3) =  3J3, мы можем выразить tr (si), i = 1,2,…, через инварианты J2 и J3. Таким образом, доказанная теорема позволяет записать условие пластичности (1) через главные инварианты девиатора напряжений, что важно при решении пространственных задач математической теории пластичности.

Схожие вопросы рассматривались в [2-5].