Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,560

INSIDE BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR LOADID EQUATION OF THE THIRD ORDER WITH MULTIPLE CHARACTERISTICS

Vodakhova V.A. 1 Tlupova R.G. 1 Shermetova M.Kh. 1
1 FGBOU VPO « Kabardin-Balkar state university n.a. Kh. M. Berbekov»
Исследован вопрос однозначной разрешимости внетреннекраевой задачи для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.
In the paper uniqueness and the existence of solution inside boundary value problem is proved for the equation of the third order with multiple characteristics.
Volterra equation
inside boundary value problem
loaded equation
Green function.

Введение

Успехи современного естествознания требуют дальнейшего развития теории дифференциальных уравнений в частных производных, что приводит к необходимости исследования локальных и нелокальных задач для нагруженных уравнений различных типов. В последние годы появилось значительное число публикаций, проблемно ориентированных на нагруженные уравнения [4, 7, 10], где исследовались локальные и нелокальные краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных уравнений в частных производных гиперболического, параболического, эллиптического и смешанного типов. Следует отметить такие применения нагруженных уравнений, как метод математического моделирования нелокальных, в том числе фрактальных, процессов и явлений, и метод эффективного поиска решений дифференциальных уравнений. Математической основой физики фракталов, в особенности дробной динамики, стали нагруженные дифференциальные уравнения, демонстрирующие роль этих уравнений в различных отраслях современной науки. Актуальность исследования краевых задач для нагруженных уравнений можно обосновать как внутренними потребностями теоретического обобщения результатов, так и прикладным значениям.

Цель исследования: доказать однозначную разрешимость внутреннекраевой задачи для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.

Постановка задачи. В области missing image file рассмотрим уравнение

missing image file. (1)

Задача А. Найти регулярное в области D решение уравнения (1), из класса missing image file с непрерывной вплоть до x=1 производной первого порядка по x, удовлетворяющее условиям:

missing image file), missing image file (2)

missing image file), missing image file), missing image file (3)

missing image file

missing image file

missing image file), missing image file (4)

где τ(y), φ1(y), φ2(y), α1(y), α2(y), β1(y), β2(y), δ(y) – заданные функции, непрерывные в замыкании области их определения, x0 – фиксированная точка интервала 0 < x < 1 причем β2(y) ≠ 0.

Задача А относится к классу нелокальных задач, исследованием которых занимались многие авторы [1 – 6, 8].

Доказательство существования и единственности решения. Рассмотрим случай, когда missing image file то есть уравнение

missing image file (5)

Пусть существует решение missing image file задачи (2)-(4),

missing image file), missing image file (6)

для уравнения (5).

Функция Грина задачи (2),(3),(6) для уравнения

missing image file (7)

задается формулой [6, 8]:

missing image file)

где missing image fileфундаментальные решения уравнения (7), которые имеют вид:

missing image file

missing image file

где

missing image file

missing image fileфункция Бесселя, функция missing image file и missing image file – функции Эйри и удовлетворяют уравнению [9]:

missing image file

Основные свойства функций missing image file и missing image file, их оценки вместе с частными производными порядка missing image file приведены в [6, 8].

Из свойств функции Грина заключаем, что решение missing image file в области D представимо в виде

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

где

missing image file

Найдем значение missing image file. Для этого положим missing image fileв последнем равенстве.

Получим:

missing image file (8)

Обозначим missing image file), тогда (8) перепишется в виде:

missing image file (9)

где

missing image file (10)

missing image file).

Равенство (9) есть интегральное уравнение Вольтера второго рода, которое однозначно разрешимо.

Решение интегральное уравнения (9) можно выписать через резольвенту missing image fileядра missing image file:

missing image file (11)

Таким образом, решение задачи (1),(2),(3), и missing image file имеет вид

missing image file (12)

Удовлетворим краевому условию (4). Для этого из (12) найдем missing image file Имеем

missing image file (13)

Подставим (13) в краевое условие (4). В результате получим равенство:

missing image file(14)

Преобразовав (14) с учетом (10), получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно функции missing image file

missing image file (15)

где

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

По условию missing image fileто есть (15) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода, которое безусловно и однозначно разрешимо в классе missing image file). Обращая его через резольвенту ядра missing image file) получим значение φ(y) то есть missing image file).

Таким образом, решение задачи (2)-(4) и (6), существует, единственно и определяется по формуле (12).

В случае, когда missing image file опираясь на

свойства функции Грина для задачи (7), (2)-(3)

и missing image file ) имеем (15)

missing image file

Интегрируя внутренний интеграл в первом слагаемом по частям, получим:

missing image file(16)

Равенство (16) перепишем в виде (17)

missing image file)

где

missing image file

missing image file

missing image file

Обращая (17) через резольвенту missing image file ядра missing image file будем иметь

missing image file

или

missing image file (18)

После преобразования (18), получим

missing image file) (19)

где missing image fileи missing image file выражаются через интегралы от missing image file и missing image file. Полагая в (18) missing image file и считая пока правую часть ее известной, получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно missing image file

missing image file

missing image file)

которое имеет только одно решение.

Найденное значение missing image file подставим в равенство (19). Удовлетворяя его граничному условию (4), снова получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно missing image file, которое однозначно разрешимо.