Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,736

TO EVALUATE THE ACCURACY AND RELIABILITY OF NUMERICAL SIMULATION IN SOLVING PROBLEMS ABOUT THE REFLECTION AND INTERFERENCE OF NON-STATIONARY ELASTIC STRESS WAVES

Musayev V.K. 1
1 MESI
Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями применяется метод конечных элементов в перемещениях. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны: методика; алгоритм; комплекс программ. При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык Фортран-90. Исследуемая область разбивается по пространственным переменным на треугольные и прямоугольные конечные элементы первого порядка. По временной переменной исследуемая область разбивается на линейные конечные элементы с двумя узловыми точками. Рассмотрены следующие задачи. Отражение упругих волн напряжений в виде дельта функции от свободной поверхности. Отражение упругих волн напряжений в виде функции Хевисайда от свободной поверхности. Отражение упругих волн напряжений в виде дельта функции от жесткой поверхности. Отражение упругих волн напряжений в виде функции Хевисайда от жесткой поверхности. Интерференция плоских продольных упругих волн напряжений в виде дельта функции. Интерференция плоских продольных упругих волн напряжений в виде функции Хевисайда.
For the solution of two-dimensional plane dynamic problem of elasticity theory with initial and boundary conditions applied finite element method in movements. The problem is solved by a method of capturing, without isolation gaps. On the basis of the finite element method in the movement developed: methods; algorithm; complex programs. When developing complex programs used algorithmic language Fortran-90. The study area is divided into spatial variables on triangular and rectangular finite elements of the first order. In the time variable study area is split into linear finite elements with two nodal points. The following tasks. The reflection of elastic stress waves in the form of a Delta function from the free surface. The reflection of elastic stress waves in the form of Heaviside functions from the free surface. The reflection of elastic stress waves in the form of a Delta function on a rigid surface. The reflection of elastic stress waves in the form of Heaviside functions from a rigid surface. Interference of plane longitudinal elastic stress waves in the form of a Delta function. Interference of plane longitudinal elastic stress waves in the form of Heaviside functions.
mathematical modeling
problem with initial and boundary conditions
the Cauchy problem
numerical methods
algorithms
complex programs
the final elements of the first order
explicit two-layer scheme
the reflection from the free surface
the reflection from a hard surface
interference
transient waves of voltages
Delta function
Heaviside function
a fundamental impact

О некоторых проблемах достоверности результатов численного моделирования нестационарных упругих волн напряжений

В настоящее время активно применяются численные методы для решения различных задач нестационарной механики деформируемого твердого тела. Однако при решении сложных задач возникают проблемы оценки достоверности полученных результатов. На основании изложенного можно утверждать, что оценка точности и достоверности результатов численного моделирования волн напряжений в областях сложной формы является актуальной фундаментальной и прикладной научной задачей.

Некоторая информация о физической достоверности и математической точности моделирования волн напряжений в деформируемых областях с помощью разработанного численного метода, алгоритма и комплекса программ приведена в следующих работах [1–4, 10].

О постановке задачи и реализация численного метода, алгоритма и комплекса программ

Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями – используем метод конечных элементов в перемещениях. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать сложные задачи при нестационарных динамических воздействиях на сложные системы. При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык Фортран-90. Исследуемая область разбивается по пространственным переменным на треугольные и прямоугольные конечные элементы первого порядка. По временной переменной исследуемая область разбивается на линейные конечные элементы первого порядка.

Некоторые вопросы в области постановки, разработки методики, алгоритма, комплекса программ и результатах решенных нестационарных динамических задач рассмотрены в следующих работах [1–10].

О моделировании нестационарных упругих волн в пластинке

1. Рассмотрим задачу об отражении упругих волн напряжений в виде дельта функции от свободной поверхности. На границе пластинки AB (рис. 1) приложено нормальное напряжение σy, которое при 0 ≤ n ≤ 10 (n = t/∆t) изменяется линейно от 0 до P, а при n ≥ 10 от P до 0 (P = σ0, σ0 = – 0,1 МПа).

mus1.tif

Рис. 1. Постановка задачи об отражении волн напряжений

Граничные условия для контуров ВС и АВ при t > 0 mus01.wmf. Контур CD свободен от нагрузок. Отраженные волны от контуров ВС и АD не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 190. Исследуемая расчетная область имеет 4221 узловую точку и 4000 конечных элементов. Решается система уравнений из 16884 неизвестных. Для примера на рис. 2 представлено изменение нормального напряжения mus02.wmf во времени n в точке B1.

2. Рассмотрим задачу об отражении упругих волн напряжений в виде функции Хевисайда от свободной поверхности.

mysaev2.tif

Рис. 2. Изменение упругого нормального напряжения mus03.wmf во времени n в точке B1 в задаче об отражении упругих волн напряжений в виде дельта функции от свободной поверхности

На границе пластинки AB (рис. 1) приложено нормальное напряжение σy, которое при 0 ≤ n ≤ 10 (n = t/∆t) изменяется линейно от 0 до P, а при n ≥ 10 равно P (P = σ0, σ0 = – 0,1 МПа). Граничные условия для контуров BC и AD при t > 0 mus04.wmf. Контур CD свободен от нагрузок. Отраженные волны от контуров BC и AD не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 190. Исследуемая расчетная область имеет 4221 узловую точку и 4000 конечных элементов. Решается система уравнений из 16884 неизвестных. Для примера на рис. 3 представлено изменение нормального напряжения mus05.wmf (mus06.wmf) во времени n в точке B1.

mysaev3.tif

Рис. 3. Изменение нормального напряжения mus08.wmf во времени n в точке B1 в задаче об отражении упругих волн напряжений в виде функции Хевисайда от свободной поверхности

3. Рассмотрим задачу об отражении упругих волн напряжений в виде дельта функции от жесткой поверхности.

mysaev4.tif

Рис. 4. Изменение нормального напряжения mus09.wmf во времени n в точке B1 в задаче об отражении упругих волн напряжений в виде дельта функции от жесткой поверхности

На границе пластинки AB (рис. 1) приложено нормальное напряжение σy, которое при 0 ≤ n ≤ 10 (n = t/∆t) изменяется линейно от 0 до P, а при n ≥ 10 от P до 0 (P = σ0, σ0 = – 0,1 МПа). Граничные условия для контуров BC, AD и CD при t > 0 mus10.wmf. Отраженные волны от контуров BC и AD не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 190. Исследуемая расчетная область имеет 4221 узловую точку и 4000 конечных элементов. Решается система уравнений из 16884 неизвестных. Для примера на рис. 4 представлено изменение нормального напряжения mus11.wmf (mus12.wmf) во времени n в точке B1.

4. Рассмотрим задачу об отражении упругих волн напряжений в виде функции Хевисайда от жесткой поверхности.

mysaev5.tif

Рис. 5. Изменение нормального напряжения mus13.wmf во времени n в точке B1 в задаче об отражении упругих волн напряжений в виде функции Хевисайда от жесткой поверхности

На границе пластинки AB (рис. 1) приложено нормальное напряжение σy, которое при 0 ≤ n ≤ 10 (n = t/∆t) изменяется линейно от 0 до P, а при n ≥ 10 равно P (P = σ0, σ0 = – 0,1 МПа). Граничные условия для контуров BC, AD и CD при t > 0 mus17.wmf. Отраженные волны от контуров BC и AD не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 190. Исследуемая расчетная область имеет 4221 узловую точку и 4000 конечных элементов. Решается система уравнений из 16884 неизвестных. Для примера на рис. 5 представлено изменение нормального напряжения mus18.wmf(mus19.wmf) во времени n в точках B1.

5. Рассмотрим задачу об интерференции плоских продольных упругих волн напряжений в виде дельта функции. На границе пластинки AB (рис. 6) приложено нормальное напряжение σy, которое при 0 ≤ n ≤ 10 (n = t/∆t) изменяется линейно от 0 до P, а при n ≥ 10 от P до 0 (P = σ0, σ0 = – 0,1 МПа). На границе пластинки CD (рис. 6) приложено нормальное напряжение σy, которое при 0 ≤ n 10 изменяется линейно от 0 до P, а при n ≥ 10 от P до 0 (P = σ0, σ0 = 0,1 МПа). Граничные условия для контуров BC и AD при t > 0 mus22.wmf. Отраженные волны от контуров BC и AD не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 190. Исследуемая расчетная область имеет 4221 узловую точку и 4000 конечных элементов. Решается система уравнений из 16884 неизвестных. Для примера на рис. 7 представлено изменение нормального напряжения mus23.wmf (mus24.wmf) во времени n в точках B1.

mysaev6.tif

Рис. 6. Постановка задачи об интерференции волн напряжений

6. Рассмотрим задачу об интерференции плоских продольных упругих волн напряжений в виде функции Хевисайда.

mysaev7.tif

Рис. 7. Изменение нормального напряжения mus25.wmf во времени n в точке B1 в задаче об интерференции плоских продольных упругих волн напряжений в виде дельта функции

На границе пластинки AB (рис. 6) приложено нормальное напряжение σy, которое при 0 ≤ n ≤ 10 (n = t/∆t) изменяется линейно от 0 до P, а при n ≥ 10 равно P (P = σ0, σ0 = – 0,1 МПа). На границе пластинки CD (рис. 6) приложено нормальное напряжение σy, которое при 0 ≤ n ≤ 10 изменяется линейно от 0 до P, а при n ≥ 10 равно P (P = σ0, σ0 = – 0,1 МПа). Граничные условия для контуров BC и AD при t > 0 mus28.wmf. Отраженные волны от контуров BC и AD не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 190. Исследуемая расчетная область имеет 4221 узловую точку и 4000 конечных элементов. Решается система уравнений из 16884 неизвестных. Для примера на рис. 8 представлено изменение нормального напряжения mus29.wmf (mus30.wmf) во времени n в точках B1.

mysaev8.tif

Рис. 8. Изменение нормального напряжения mus31.wmf во времени n в точке B1 в задаче об интерференции плоских продольных упругих волн напряжений в виде функции Хевисайда

Выводы

1. Сравнение с результатами отражения и интерференции волн напряжений показало хорошее совпадение, что позволяет сделать вывод о физической достоверности и математической точности результатов численного решения динамических задач, полученных методом конечных элементов в перемещениях.

2. Методика, алгоритм, комплекс программ и результаты решенных задач рекомендуются для использования в научно-технических организациях, специализирующихся в области динамического расчета сооружений с окружающей средой при ударных, взрывных и сейсмических воздействиях.