Введение
Возможности формирования структурированного пространства путем разбиения его на модулярные ячейки и моделирования невырожденных модулярных структур проанализированы в [1-3]. Получены вероятные представления гиперполиэдров в 3D пространстве и модулярные ячейки структур из политопов 4D пространства [4]. Проанализированы гомологические соотношения и топологические преобразования модулярных гиперячеек [5]. Дана общая характеристика возможных гибридных фрактальных структур и сформулированы принципы их формирования [6-8], приведены примеры [9-15].
Проведена классификация возможных структурных состояний детерминистических модулярных структур с кристаллической, фрактальной и наноразмерной компонентами в 2D и 3D пространствах и сформулированы принципы их формирования [16-21]. Получены и определены размерные характеристики возможных многокомпонентных структурных состояний системы [22-27]. Установлено вероятное влияние условного размерного параметра на чувствительные к особенностям структурной организации свойства систем [28, 29]. Проанализируем возможные зависимости для описания влияния размерности объекта на его удельные характеристики, в частности, на некоторое обобщенное аддитивное свойство.
Влияние размерности объекта на его удельные характеристики
В данной работе будем считать, что характер влияния для i-го структурного состояния определяется зависимостью типа Si(d/Di). В этом случае на свойство SD влияет отношение мерности пространства d и условного размерного параметра D:
ln(SD/Sd) = KD (d/D) и lnSD/lnSd = KD (d/D),
где KD – коэффициент пропорциональности, зависящий от величины отклонения условного размерного параметра состояния от мерности пространства, в котором определена структура R.
Условный размерный параметр D для многокомпонентного структурного состояния может быть рассчитан следующим образом:
D = dr D(r) + df D(f) + dn D(n),
где dr, df и dn – количества соответствующих компонент одного сорта, для кристаллической компоненты D(r) = 1, для фрактальной компоненты D(f) = DimRf = Dim (GenRf), для наноразмерной компоненты D(n) = (<n>/no) < 1, если средний размер нанообъекта <n> < no = 100 нм и D(n) = 1, если <n> ≥ no.
Проанализируем вероятное влияние мерности d пространства, в котором определено структурное состояние комплексного объекта с определенной размерностью, на величину его аддитивного свойства.
Допустим, что геометрия структурированного 4D пространства определяется следующим образом:
.
Над морфизмами стоят показатели степени – соответствующие операторы перехода к большей мерности пространства. Тогда матрица, столбцы которой представляют варианты обозначений «объемов» пространственных ячеек соответствующих подпространств 4D пространства:
подразумевает наличие связей вида S = L2, L = S1/2; V = L3 = S3/2, L = V1/3; H = L4 = S2 = V4/3, L = H1/4 и т.д.
Будем рассматривать некоторое аддитивное свойство m и соответствующий ему натуральный логарифм этого свойства ln m для комплексного объекта в пространствах с разной степенью однородности.
В зависимости от мерности подпространств взаимосвязи между соответствующими логарифмами подсвойств объекта определим следующим образом:
,
где над морфизмами стоят коэффициенты перехода для свойств объекта в пространство с более высокой мерностью.
Соответствующая матрица возможных взаимосвязей между логарифмами подсвойств свойства m:
Тогда матрица соотношений между логарифмами свойств объекта в подпространствах с близкой мерностью выглядит следующим образом:
или, в общем случае
ln(md+1)/ln(md) = (d+1)Kd+1/dKd
откуда имеем
md = md+1 dKd /(d+1)Kd+1
Тогда одновременное влияние мерности пространства d и размерности объекта D на некоторое его аддитивное свойство S с учетом равенства Sd = md может быть представлено следующим образом:
SD, d = md+1 [dKd /(d+1)Kd+1] [KD(d/D)].
Если аналогичным образом рассмотреть соответствующую матрицу возможных взаимосвязей между логарифмами отношений подсвойств свойства m в подпространствах с близкой мерностью, тогда в общем случае
ln(md+1/md) = (d+1)Kd+1/dKd
откуда имеем
md+1 = md exp((d+1)Kd+1/dKd) или
md = md+1 exp(dKd/(d+1)Kd+1).
В этом случае одновременное влияние мерности пространства d и размерности объекта D на некоторое его аддитивное свойство S может быть представлено следующим образом:
SD, d = md+1 exp(dKd/(d+1)Kd+1) exp(KD(d/D)).
Таким образом, одновременное влияние мерности пространства d и размерности объекта D на некоторое его аддитивное свойство S может быть представлено как степенной, так и экспоненциальной зависимостями.
Выводы
Получены возможные зависимости аддитивного свойства некоторого комплексного объекта от его размерного параметра D и мерности d неоднородного пространства, в котором реализуется его структурное состояние, включающее кроме кристаллической также наноразмерную и фрактальную компоненты. Отметим, что возможное влияние размерных параметров состояния поверхности, обусловленных кристаллическими фазами, наночастицами или квазифрактальными конфигурациями межфазных границ, на трибологические свойства поверхности композиционных материалов и покрытий на основе систем Ni-P и Ni-B были использованы в [30–40].