Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,736

TWO-DIMENSIONAL ELECTRODYNAMIC MODEL OF AN INHOMOGENEOUS MEDIUM WITH LOSSES

Fedorov V.N. 1 Fedorova L.L. 2 Sokolov K.O. 2
1 North-Eastern federal university of M.K. Ammosov
2 Mining Institute of the North named N.V. Cherskiy
Для совершенствования георадиолокационной аппаратуры, методик измерения и интерпретации их результатов актуальна разработка новых методов решения задач электродинамического моделирования. Наиболее популярные методы вычислительной электродинамики, такие как FDTD, TLM и др., требуют больших вычислительных ресурсов и не позволяют одновременно учитывать поляризацию электромагнитных волн, диссипативные и поляризационные потери в широком диапазоне частот. Отсутствие возможности получения подобной информации по результатам математического моделирования сказывается на качестве и достоверности результатов интерпретации данных георадиолокационных исследований. В работе описан оригинальный метод дифференциальных ABCD-матриц для представления двухмерной слоистой среды, в которой распространяются квази-Т-волны. Введение фиктивных диэлектрической и магнитной проницаемостей позволяет учесть поляризацию электромагнитных волн. Для учета поляризационных и диссипативных потерь в широком диапазоне частот введены два вида проводимостей – на низких и высоких частотах. Представлены эквивалентные электрические схемы малого участка среды и схема замещения для учета диссипативных и поляризационных потерь. Получен критерий устойчивости дифференциальных матриц, аналогичный критерию Куранта – Фредерикса – Леви. Записаны граничные условия на границах среды, которые позволяют рассчитать электромагнитное поле, как на границах, так и в самой среде при зондировании ее радиоимпульсом георадара. Полученная в результате проведенного исследования двумерная электродинамическая модель позволяет провести расчеты распространения квази-Т-волны в неоднородной среде и детально исследовать особенности электромагнитных волновых процессов, происходящих в подповерхностных слоях геологических сред, без ограничений на характер и количество включений и неоднородностей.
In the propagation of ultra-wideband pulses of georadars in the ground, their characteristics are affected by the electrophysical properties of rocks and the methods used to calculate the reflected signals of conventional radars cannot be used here. Therefore, it is necessary to develop methods for solving inverse problems of electrodynamics, which is necessary to improve the equipment of georadar, measurement techniques and their interpretation. The most popular methods of Computational Electrodynamics such as FDTD, TLM, etc. do not allow to take into account simultaneously the polarization of electromagnetic waves, dissipative and polarization losses in a wide frequency range. In addition, they require large machine resources. The lack of the possibility of obtaining such information from the results of mathematical modeling affects the quality and reliability of the results of the interpretation of GPR data. The paper describes the original method of differential ABCD-matrices for two-dimensional layered medium in which quasi-T-waves propagate. The insertion of fictitious dielectric and magnetic permittivity allows in to take into account the polarization of electromagnetic waves. To account for polarization and dissipative losses in a wide frequency range, two types of conductivities are introduced – at low and high frequencies. The equivalent electric circuits of a small part of the medium and the equivalent circuit for the account of dissipative and polarization losses are presented. The stability criterion of differential matrices analogous to the Courant-Fredericks-levy criterion is obtained. The boundary conditions at the boundaries of the medium are recorded, which allow to calculate the electromagnetic field both at the boundaries and in the medium itself under irradiation by its radio pulse of the georadar. The two-dimensional electrodynamic model obtained as a result of the investigation allows calculations of the propagation of a quasi-T wave in an inhomogeneous medium. It also makes it possible to investigate in detail the features of electromagnetic wave processes occurring in the subsurface layers of geological media, without restrictions on the nature and number of inclusions and inhomogeneities.
ABCD-matrix
transmission matrix
quasi-T-waves
Maxwell’s equations
two-dimensional medium
dissipative losses
polarization losses
polarization of electromagnetic waves

В последнее десятилетие метод георадиолокации стали активно применять для решения самых разных инженерно-геологических, геотехнических задач. Метод георадиолокации основан на явлении отражения электромагнитной волны от границ неоднородностей в изучаемой среде, на которых скачкообразно изменяются электрические свойства – электропроводность и диэлектрическая проницаемость. При распространении георадарных сверхширокополосных импульсов в грунте на их амплитуду, фазовые характеристики и спектр частот влияют электрофизические свойства пород – электропроводимость, диэлектрическая и магнитная проницаемости в широком диапазоне частот. Они в свою очередь зависят от таких параметров грунта, как влажность и плотность горных пород, форма, размеры, взаимное расположение и ориентация минеральных зёрен или частиц и т.п.

Для совершенствования георадиолокационной аппаратуры, методик измерения и интерпретации их результатов актуальна разработка новых методов решения задач электродинамического моделирования, учитывающих изменение поляризации электромагнитной волны после отражения от границы неоднородности изучаемой среды. Наиболее широкое распространение для электродинамического моделирования получили такие методы, как FDTD, TLM и другие [1, 2]. Их основной недостаток – невозможность учета потерь в широком диапазоне частот, использование рекурсивных методов расчета и поэтому потребность в больших машинных ресурсах памяти и быстродействии.

С целью разработки более эффективного метода расчёта было предложено использовать дифференциальные ABCD-матрицы передачи [3], которые описывают малые участки оптической среды через матрицы передачи. Данный подход успешно реализован для расчета оптических систем в работе [4]. В работах [5–7] малые участки двухмерной слоистой среды с потерями были представлены в виде их матриц передачи. Это позволило записать ABCD-матрицы слоев, а их перемножение – матрица передачи всей среды и рассчитать электромагнитное поле на границе среды при облучении ее радиоимпульсом георадара.

В данной работе для учета поляризации электромагнитной волны (ЭМВ) предлагается уточненная модель среды, путем введения фиктивных диэлектрической и магнитной проницаемостей. Это позволяет в ABCD-матрице малых элементов среды учесть поляризацию ЭМВ. Для учета поляризационных и диссипативных потерь в широком диапазоне частот предлагается ввести два вида проводимостей – на низких и высоких частотах. Получен критерий устойчивости дифференциальных матриц, аналогичный критерию Куранта – Фредерикса – Леви.

Двухмерная электродинамическая модель среды

Под элементом пространства будем понимать часть среды, линейные размеры которой малы или стремятся к 0. Электродинамическое моделирование методом ABCD-матриц основано на представлении элементов среды матрицами передачи в виде отрезков электрических цепей с распределенными параметрами. Для этого вводятся комплексные проводимость fed01.wmf и сопротивление fed02.wmf среды:

fed03.wmf (1)

где fed04.wmf – круговая частота; ε0, μ0, εа,μа – абсолютные и относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости; σ – проводимость среды, позволяющая учесть тепловые и диссипативные потери.

В этом случае уравнения Максвелла запишутся [8]:

fed05.wmf (2)

Пусть плоскость YZ – граница, разделяющая среду 1 и среду 2, вектор Пойтинга П1 падающей ЭМВ лежит в плоскости XY, а вектор fed06.wmf ей перпендикулярен так, как это показано на рис. 1, а (случай горизонтальной поляризации). В среде 1 будут распространяться две волны: падающая П1 и отраженная П10. В среде 2 распространяется только прошедшая волна П2. Тогда fed07.wmf, fed08.wmf и из (2) следует, что прошедшая ЭМВ будет описываться следующей системой уравнений:

fed09.wmf (3)

Прошедшую ЭМВ П2 можно представить как две ортогональные связанные Т-волны П2x и П2y, где fed10.wmf(рис. 1, б).

fed1a.tif fed1b.tif

а) б)

Рис. 1. а) Падающая П1, отраженная П10 и прошедшая П2 электромагнитные волны; б) две ортогональных связанных Т-волны П2x и П2y, образующие прошедшую волну

Тогда третье уравнение в (3) можно разделить на два уравнения, если ввести фиктивные диэлектрические проницаемость fed11.wmf и проводимость fed12.wmf, которые связывают fed13.wmf и fed14.wmf и переписать (3) как

fed15.wmf (4)

Учет поляризационных и диссипативных потерь в среде

Внешнее электрическое поле вызывает в ионно-проводящих горных породах (песках, песчаниках, известняках и др.) различного вида поляризационные процессы. Для их учета необходимо знать время релаксации τрел, которое для большинства пород неизвестно. Но для многих пород известна зависимость проводимости σ и комплексной диэлектрической fed17.wmf от частоты [9–10]. Чтобы учесть в породах поляризационные и диссипативные потери введем два вида проводимостей – σст, σ∞ и два вида диэлектрических проницаемостей εст, ε∞ на низких и высоких частотах соответственно. Этому соответствует эквивалентная схема замещения рис. 2.

fed2.tif

Рис. 2. Эквивалентная схема замещения диссипативных и поляризационных потерь, εст ,ε∞ , σст , σ∞ – диэлектрические проницаемости и проводимости среды на низких и высоких частотах соответственно

Тогда комплексную проводимость горной породы fed18.wmf в (2) можно записать как

fed19.wmf (5)

где fed20.wmf – время релаксации.

Дифференциальная матрица передачи элемента среды

Рассмотрим случай вертикальной поляризации, когда вектор Е лежит в плоскости XY. Рассуждая аналогично вышесказанному, введя фиктивные магнитные проницаемость fed21.wmf и сопротивление fed22.wmf, переходя аналогично (4) к конечным разностям: fed23.wmf и fed24.wmf записываем обобщенную дифференциальную матрицу передачи двухмерного элемента среды (ABCD-матрицу):

fed25.wmf, (6)

fed26.wmf. (7)

ABCD-матрице (6) можно поставить в соответствие эквивалентную схему элемента среды как восьмиполюсник (рис. 3).

fed3a.tif fed3b.tif

а) б)

Рис. 3. Эквивалентная схема элемента среды: а) в виде восьмиполюсника; б) упрощенный вариант а)

Расчет электрических полей

Дифференциальные ABCD-матрицы элементов среды позволяют записать ABCD-матрицы слоев, а их перемножение – матрицу передачи всего участка среды. Задавая соответствующие граничные условия, можно рассчитать распределение электрических полей в этой среде.

Модель элементов среды позволяет описать двухмерную среду, в общем случае состоящую из ячеек с разными электрофизическими свойствами. На рис. 4 показана такая модель, в которой двумерная среда представлена матрицей (M×N) элементов и состоящая из вектора внутренних сопротивлений источников (Z1), вектора источников ЭМВ (Es), каскадного соединения восьмиполюсников элементов среды (as, где as1, as2… asN – ABCD-матрицы слоев среды) и вектора волновых сопротивлений N + 1 среды (Z2).

fed4a.tif fed4b.tif fed4c.tif

а) б) в)

Рис. 4. Эквивалентные схемы: а) двумерной неоднородной среды; б) результирующего многополюсника i-го слоя asi; в) результирующего многополюсника участка среды as

Объединяя элементы послойно, перемножая матрицы слоев, получаем результирующую ABCD-матрицу среды aS:

fed27.wmf (8)

в которой условия распространения Т-волн определяются граничными условиями среды слева и справа:

fed28.wmf (9)

Отсюда амплитуда магнитного поля справа:

fed29.wmf (10)

где aij – элементы результирующей матрицы aS . Остальные амплитуды электрического и магнитного полей справа и слева находим из (9).

Устойчивость дифференциальных матриц передачи

Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных сходится, при выполнении условия устойчивости

fed30.wmf (11)

где v – максимальная скорость переноса возмущения в среде, ?x – шаг по координате, Δt – шаг по времени, С – константа, которая в общем случае зависит от уравнения, но не зависит от Δx и Δt. Критерий назван в честь Рихарда Куранта, Курта Фридрикса и Ганса Леви (КФЛ). Физически критерий КФЛ означает, что возмущение за один шаг Δt по времени не должно продвинуться больше, чем на один пространственный шаг Δx.

Рассмотрим для простоты одномерную электродинамическую модель среды. Для нее дифференциальная матрица передачи элемента среды запишется как

fed31.wmf (12)

Очевидно, что если модуль дискриминанта дифференциальной матрицы (12)

fed32.wmf (13)

будет больше 1, то значения членов результирующей матрицы aS в результате умножения будут стремиться к бесконечности. Это будет значить, что решение потеряло устойчивость.

Введем параметр δ2, характеризующий отклонение det от 1 как

fed33.wmf (14)

Тогда можно записать условие сходимости процесса для заданного диапазона частот и δ при известном Δx:

fed34.wmf, (15)

откуда условие устойчивости:

fed35.wmf (16)

где fed36.wmf – скорость распространения ЭМВ в среде, ωmax – максимальная круговая частота сигнала.

Например, если δ = 10-6, fmax = 109 Гц, vс = 3.108 м/с, то пространственный шаг не должен превышать Δx ≤ 0,477.10-7 м.

Заключение

В работе описан оригинальный метод электродинамического моделирования с помощью дифференциальных ABCD-матриц, которые описывают малые участки двухмерной слоистой среды. Введение фиктивных диэлектрической и магнитной проницаемостей позволило в ABCD-матрице малых элементов среды учесть поляризацию ЭМВ. Для учета поляризационных и диссипативных потерь в широком диапазоне частот введены два вида проводимостей – на низких и высоких частотах. Получен критерий устойчивости дифференциальных матриц, аналогичный критерию Куранта – Фредерикса – Леви. Записаны граничные условия на границах среды, которые позволяют рассчитать электромагнитное поле, как на границах, так и в самой среде при облучении ее радиоимпульсом георадара.

Работа выполнена в рамках программы фундаментальных исследований СО РАН (проект № 0382-2016-0001) и при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 18-45-140061 р_а).