Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,823

УРАВНЕНИЯ ТЕРМОГИДРОДИНАМИКИ КВАЗИГЕОСТРОФИЧЕСКОЙ И ГИДРОСТАТИЧЕСКОЙ АТМОСФЕРЫ В ЗАДАЧАХ РЕГИОНАЛЬНОЙ ЭКОЛОГИИ

Калажоков Х.Х. 1 Увижева Ф.Х. 1
1 Институт информатики и проблем регионального управления – филиал ФГБНУ «Федеральный научный центр «Кабардино-Балкарский научный центр Российской академии наук»
В данной работе рассматриваются основные направления анализа экологических характеристик атмосферы локальных и глобальных масштабов. На основе анализа результатов вычислительных экспериментов по исследованию динамики крупномасштабных атмосферных процессов в рамках уравнений квазигеострофической и гидростатической модели атмосферы показывается возможность их применения для решения задач региональной экологии. Рассмотрены задачи экологии в региональном масштабе, где для определения полей течения и турбулентных характеристик атмосферы используются математические модели динамики атмосферных процессов в квазигеострофическом и гидростатическом приближениях. Краевые условия заданы в первом приближении на поверхности земли и на верхней границе тропосферы для вертикальной составляющей скорости. Представлена математическая постановка задачи переноса экологически вредных примесей в атмосфере региона в виде трехфазных аэрозолей, в предположении, что дисперсная компонента аэрозолей представляет собой жидкие капли и твердые частицы полидисперсного спектра по величине, размеру частиц. Предложена математическая формулировка задачи совместного краткосрочного прогноза погоды и прогноза экологической обстановки в регионе. В методической основе численной реализации предложенного подхода к постановке задач прогноза экологической обстановки региона лежат различные варианты представления исходной сложной задачи в виде последовательности простых задач с применением так называемых методов расщепления сложных задач. Для решения основных задач региональной экологии предложен также спектральный вычислительный метод Галеркина, позволяющий получить приближенные решения для широкого класса исследуемых задач с использованием меньшего количества оперативной памяти и за меньшее количество шагов без существенной потери точности.
региональная экология
уравнения термогидродинамики
квазигеострофическая и гидростатическая атмосфера
анализ и прогноз экологической обстановки
спектральный метод Галеркина
метод расщепления
1. Берлянд М.Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнение атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1975. 448 с.
2. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. 320 с.
3. Марчук Г.И., Алоян А.Е. Математическое моделирование в задачах экологии. Препринт № 234. М.: ОВМ АН СССР, 1989. 36 с.
4. Дымников В.П. Моделирование климата и его изменений. 2015. 59 с. [Электронный ресурс]. URL: http://www.scert.ru/conferences/cites/2015/presentation/Presentation/School/20.06.15/2-Dymnikov.pdf (дата обращения: 18.05.2020).
5. Голицын Г.С., Мохов И.И., Куличков С.Н., Курганский М.В., Репина И.А., Чхетиани О.Г. Турбулентность, динамика атмосферы и климата: сборник трудов. М.: Физматкнига, 2018. 587 с.
6. Davies H.C. The Quasigeostrophic Omega Equation: Reappraisal, Refinements, and Relevance. American Meteorological Society. 2015. Vol. 143. P. 3–25. DOI: 10.1175/MWR-D-14-00098.1.
7. Cai M., Huang B. A new look at the physics of Rossby waves: a mechanical–Coriolis oscillation. Journal of the atmospheric sciences. 2013. Vol. 70. P. 303–316. DOI: 10.1175/JAS-D-12-094.1.
8. Курганский М.В. Спиральность в атмосферных динамических процессах // Известия Российской академии наук. Физика атмосферы и океана. 2017. Т. 53. № 2. С. 147–163. DOI: 10.7868/S0002351517020079.
9. Callies J., Ferrari R., Bühler O. Transition from geostrophic turbulence to inertia–gravity waves in the atmospheric energy spectrum. Proc Natl Acad Sci USA. 2014. 111(48). P. 17033–17038. DOI: 10.1073/pnas.1410772111.
10. Shen J., Tang T., Wang L.-L. Spectral Methods: Algorithms, Analysis and Applications. Berlin: Springer, 2011. 472 p. DOI: 10.1007/978-3-540-71041-7.
11. Марчук Г.И. Численные методы в прогнозе погоды. Л.: Гидрометеорологическое издание, 1967. 356 c.
12. Полякова Н.М., Ширяева Е.В. О вычислении коэффициента турбулентного переноса в задаче о седиментации примеси // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2017. № 4–1. С. 44–50.
13. Петрова А.А., Смагин В.В. Сходимость метода Галеркина приближенного решения параболического уравнения с весовым интегральным условием на решение // Известия вузов. Математика. 2016. № 8. Р. 49–59.
14. Увижева Ф.Х., Калажоков Х.Х. Применение метода расщепления и спектрального метода Галеркина к задачам региональной экологии // Успехи современного естествознания. 2019. № 10. С. 132–140. DOI: 10.17513/use.37226.

Известно, что интенсивность загрязнения природной среды региона и величина ущерба, наносимого экономике в результате производственно-хозяйственной деятельности, зависят от конкретных экологических характеристик рассматриваемого региона, а также от долготы, широты, высоты точек рассматриваемой местности. К настоящему времени российскими и зарубежными специалистами выполнен большой комплекс исследований по методам анализа экологических характеристик окружающей среды.

Однако такие важные и сложные проблемы современной региональной экологии, как построение и исследование уравнения динамики переноса загрязняющих примесей в различных окружающих средах с учетом их физико-химического взаимодействия, разработка методов прогноза экологической обстановки в регионе различной заблаговременности, проведение вычислительных экспериментов по исследованию и анализу сложных экологических процессов регионального масштаба и другие, по-прежнему представляют научный и практический интерес.

Большое количество публикаций, посвященных модельным задачам локальных экологических процессов переноса пассивных и активных примесей атмосферы, составляет первое направление исследований. Эти модельные задачи бедны по физическому содержанию и описывают только распространение в атмосфере аэрозолей от различных типов источников в рамках уравнений переноса и диффузии, решаются в рамках одномерной системы при заданных скоростях (например, [1]). Исследования Г.И. Марчука и его учеников во многом положили начало моделированию мезомасштабных экологических процессов на основе уравнений термогидродинамики атмосферы с учетом физико-химических превращений примесей [2].

Второе направление исследований посвящено математическому моделированию сложных экологических процессов в атмосфере регионального и глобального масштабов с использованием полных уравнений динамических и кинетических процессов [3].

Настоящая работа посвящена приложению к экологии уравнений термогидродинамики квазигеострофической и гидростатической атмосферы. Квазигеострофические и гидростатические модели успешно используются для создания на их основе глобальных климатических моделей, гидродинамической теории краткосрочного прогноза погоды. Разработаны новые версии этих моделей, обладающие высоким пространственным разрешением и адаптированные к параллельным вычислительным системам [4–6]. Отметим, что в результате численного анализа динамики крупномасштабных атмосферных процессов с помощью квазигеострофической модели установлены механизмы формирования полей метеоэлементов в атмосфере и основные закономерности атмосферных процессов регионального масштаба с приемлемой точностью [7–9]. Основные спектральные алгоритмы, а также некоторые примеры приложения спектральных методов для решения актуальных задач прикладной гидродинамики, метеорологии хорошо рассмотрены и систематизированы в [10].

Одной из главных проблем, возникающих при реализации математических моделей основных задач региональной экологии, является снижение требований к ЭВМ по быстродействию и объему памяти. Вычислительные эксперименты предложенного в работе метода аналитического расщепления показывают, что полученные приближенные решения подобного класса задач можно получить быстрее и без значительной потери точности [11, 12].

Целью настоящего исследования является реализация сложных задач региональной экологии в рамках основных уравнений динамики квазигеострофической атмосферы, позволяющая уменьшить объем вычислительных работ, необходимых для их численной реализации.

Система уравнений термогидродинамики квазигеострофической и гидростатической атмосферы

В области D = {(t, x, y, p)): t > 0, –∞ < x, y < ∞, 0 < p < p0}, состоящей из точек (t, x, y, p) прямоугольной системы координат, где t – время, (x, y) – пространственные горизонтальные координаты, p – давление, которое в дальнейшем играет роль вертикальной координаты, а неизвестной функцией становится изобарическая поверхность, рассматривается система уравнений термогидродинамики квазигеострофической и гидростатической атмосферы [13], которая после некоторых упрощающих преобразований имеет вид

For1.tif (1)

For2.tif (2)

For3.tif (3)

Для полученной системы уравнений термогидродинамики квазигеострофической и гидростатической атмосферы нужно определить граничные условия. В этом качестве будем использовать вертикальную составляющую вектора скорости τ, пространственный вид которой при p = p0 имеет вид

For4.tif

Приравнивая к нулю и произведя некоторые целесообразные поставленной задаче упрощения, получим компоненты вектора скорости в виде

For5.tif

Здесь и далее использованы следующие обозначения:

kalag01.wmf – оператор Лапласа, l – параметр Кориолиса для точек земной поверхности вдали от экватора, H = gz – новая неизвестная функция, g – ускорение силы тяжести, p – атмосферное давление, kalag02.wmf играет роль вертикальной составляющей вектора скорости, которая описывает смещение частицы воздуха относительно изобарических поверхностей, T – температура, γa – адиабатический градиент температуры, cp – удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении, ε – приток тепла к единице массы воздуха, который будем считать известным, R – универсальная постоянная, p0 – среднее давление на земной поверхности, принимаемое равным 1000 мб, kalag03.wmf – коэффициент, учитывающий изменение параметра Кориолиса с широтой, kalag04.wmf, kalag05.wmf и изменяются по высоте незначительно, u, v – горизонтальные составляющие вектора скорости воздуха, (H, ΔH) и (T, H) из (1) и (2) соответственно – якобианы, вычисляемые по формуле

For6.tif

Некоторые краевые задачи физики квазигеострофической и гидростатической атмосферы

Для исследования физических закономерностей формирования и развития атмосферных процессов разных масштабов под влиянием различных факторов (например, приток тепла, орография, фазовые превращения и др.) рассмотрим некоторые краевые задачи в рамках системы уравнений (1)–(3).

Задача 1. Рассмотрим систему уравнений термогидродинамики физики квазигеострофической и гидростатической атмосферы (1)–(3) с краевыми условиями:

kalag06.wmf при p = p0, (4)

τ = 0 при p = 0.

Решение задачи 1 ищется в классе функций, ограниченных на бесконечности по горизонтальным координатам. Заметим, что задача 1 моделирует атмосферные процессы в свободной атмосфере без учета влияния процессов в пограничном слое турбулентного трения.

Для количественной оценки влияния приземного пограничного трения на эволюцию метеорологических элементов в свободной атмосфере рассматривается краевая задача:

Задача 2. Рассмотрим систему уравнений термогидродинамики физики квазигеострофической и гидростатической атмосферы (1)–(3) с краевыми условиями:

For7a.tif

For7b.tif

при p = ph, (5)

τ = 0 при p = 0,

где kalag07.wmf, h – толщина слоя трения, выраженная в единицах давления, kalag08.wmf – коэффициент турбулентной вязкости в пограничном слое атмосферы, kalag09.wmf, где μ – коэффициент вертикальной турбулентной вязкости, который на практике можно определить как по данным регистрации воздушных течений, так и по данным о диффузии искусственно вводимых в атмосферу примесей.

В настоящее время выполнен большой комплекс исследований, посвященных решению модельных задач типа (1)–(4) и (1)–(3), (5) по анализу локальных процессов, необходимых для реализации сложных и важных проблем. В результате этих исследований разработана оперативная схема краткосрочного прогноза погоды с применением ЭВМ и выявлено некорректное описание эволюции планетарных ультрадлинных волновых возмущений в атмосфере в квазигеострофическом и гидростатическом приближении, что представляет большой интерес в прогнозе погоды на длительный срок.

Модель переноса экологически вредных примесей в атмосфере региона

Рассмотрим модель переноса примесей, загрязняющих экологию атмосферы региона. Пусть вредные примеси представляют собой трехфазную смесь газа, жидкости и твердого вещества в виде аэрозолей.

Предположим, что дисперсная компонента аэрозолей представляет собой жидкие капли и твердые частицы полидисперсного спектра по величине, размеру (или объему) частиц.

Пусть ρ – плотность воздуха, а ρ1, ρ2, ρ3 – плотности вредных примесей в виде газа, жидких капель и твердых частиц в динамической атмосфере соответственно. Рассмотрим удельные величины kalag10.wmf kalag11.wmf kalag12.wmf удовлетворяющие соотношению ρ1 + ρ2 + ρ3 << ρ [13].

Упрощенная простейшая модель переноса и диффузии примесей в атмосфере региона в системе координат (t, x, y, p) имеет вид

For8.tif

For9.tif, при t = 0, qi = 0

при p = p0, qi = 0 при p = 0,

где For10.tif, Δ – оператор Лапласа, v, μ – коэффициенты турбулентной диффузии примесей; u, v, τ – составляющие вектора скорости переноса примесей в атмосфере; Ii – мощности источников вредных примесей с учетом физико-химического взаимодействия примесей между собой и со средой. При определении функционального вида источников примесей учитываются выпадения тяжелых жидких и твердых вредных примесей на поверхности земли путем учета величины вертикальной скорости частиц под действием силы тяжести в уравнениях переноса аэрозолей.

Заметим, что для задач прогноза погоды и экологии региона на сравнительно короткий срок граничные условия на поверхности земли и на верхней границе атмосферы региона будут выполняться удовлетворительно. При увеличении срока заблаговременности прогноза граничные условия могут оказаться недостаточно точными.

В этом случае граничные условия на поверхности земли можно получить на основе решения вспомогательной задачи относительно баланса примесей на границе раздела атмосфера – земля в зависимости от характера подстилающей поверхности и структуры почвы. Возможны и другие варианты постановки граничных условий переноса примесей.

Постановка задачи метода прогноза экологической обстановки в регионе

Рассмотрим постановку задачи прогноза экологической обстановки в регионе в виде двух блоков. Первый блок представляет собой задачу расчета метеорологических элементов на основе термогидродинамических уравнений в приближении квазигеострофической и гидростатической атмосферы.

Следовательно, задача, рассматриваемая в первом блоке, является методологической основой численного метода краткосрочного прогноза погоды в квазигеострофическом приближении.

Во втором блоке рассматривается задача переноса экологически вредных примесей в атмосфере региона. Совместное рассмотрение указанных двух задач представляет собой постановку задачи прогноза погоды и экологической обстановки в регионе.

Тогда полная математическая формулировка задачи совместного краткосрочного прогноза погоды и экологической обстановки в регионе в системе координат (t, x, y, p) в виде

For11.tif

For12.tif

For13.tif

For14.tif при p = p0, τ = 0 при p = 0,

For15.tif при t = 0, qi = 0

при p = 0 и p = p0.

Таким образом, задача краткосрочного прогноза погоды и экологической обстановки в регионе является сложной задачей прикладной математики, вычислительной математики и вычислительной техники. Решение расщепленных таким образом задач получено и подробно рассмотрено авторами в работе [14] с применением спектрального метода Галеркина.

Заключение

Широко распространенные конечно-разностные методы требуют проведения громоздких вычислений на каждом временном шаге, в каждой точке пространственной сетки, что влечет за собой значительное увеличение используемой оперативной памяти и замедление расчетов. Применение аналитических методов расщепления позволяет получить приближенные формулы решений для широкого класса задач, притом вычислительные эксперименты показывают, что проведение расчетов значительно ускоряется, притом без существенной потери точности. К расщепленным по физическим процессам, уже более простым задачам, можно применить спектральный вычислительный метод Галеркина, позволяющий получить приближенные решения поставленной задачи.

В заключение отметим, что в предложенных постановках краевые условия имеют довольно формальный характер, ибо оценка количества примесей, осевших близко к поверхности Земли, крайне специфична для каждой конкретно решаемой задачи.


Библиографическая ссылка

Калажоков Х.Х., Увижева Ф.Х. УРАВНЕНИЯ ТЕРМОГИДРОДИНАМИКИ КВАЗИГЕОСТРОФИЧЕСКОЙ И ГИДРОСТАТИЧЕСКОЙ АТМОСФЕРЫ В ЗАДАЧАХ РЕГИОНАЛЬНОЙ ЭКОЛОГИИ // Успехи современного естествознания. – 2020. – № 6. – С. 57-61;
URL: http://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=37411 (дата обращения: 27.10.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074