Введение

Современные компьютеры дали в руки исследователей эффективное средство для математического моделирования сложных задач науки и техники. Поэтому количественные методы исследования в настоящее время проникли практически во все сферы человеческой деятельности.

Реализация математических моделей на компьютере осуществляется с помощью методов вычислительной математики, которая непрерывно совершенствуется вместе с прогрессом в области информационно-коммуникационных технологии[1],[2]. Рассмотрим уравнение Лапласса

(1)

Будем искать его решение, непрерывное в прямоугольнике и

принимающее на границе Г заданные значения:

(2)

Задача, определяемая уравнением (1) и условием (2), называется задачей Дирихле (первой краевой задачей).

Постановка задачи.Для численного решения задачи (1), (2) введем в сетку

и обозначим через

сеточную функцию, заданную на и – шаги сетки по координатам и .

Чтобы написать разностную схему для (1), (2), аппроксимируем каждую из производных на трехточечном шаблоне, полагая

знак ~ означает аппроксимацию. Пользуясь этими выражениями, заменим (1) разностным уравнением

(3)

или, в сокращенной записи,

В безындексных обозначениях имеем

(4)

К этому уравнению надо присоединить краевые условия

(5)

Граница сетки состоит из всех узлов , кроме вершин прямоугольника (0, 0) , которые не используются. Разностное уравнение (3) записано на пятиточечном шаблоне

Схему (4) часто называют схемой крест. Если т.е. сетки по и совпадают, то сетку называют квадратной. На такой сетке разностную схему (4) можно записать в виде

Для однородного уравнения получаем

т.е. значение в центре шаблона определяется как среднее арифметическое значений в остальных узлах шаблона[3],[4],[5].

Пусть – решение задачи Дирихле (1), (2), а – решение разностной задачи (4), (5). Рассмотрим погрешность

),

Подставляя в (4), (5), получаем для погрешности неоднородное уравнение

),) (6)

с однородным краевым условием

при (7)

здесь

(8)

есть невязка или погрешность аппроксимации для схемы (4) на решении уравнения (1).

Покажем, что

(9)

где

В самом деле, учитывая формулы

находим

Отсюда и из (1) следует (9).

Таким образом, схема (4) имеет второй порядок аппроксимации.

Рассмотрим на примере следующую задачу:

Найти непрерывную функцию и(х, у), удовлетворяющую внутри прямоугольной

области Ω = {(

уравнению Лапласа

и принимающую на границе области W заданные значения, т. е.

,

,

,

,

Для ее решение составлена программа вычисление алгоритма метода сеток. Полученный численный расчет проанализированны и поведение решение показано на рисунке.

Поведение решение

Заключение

Понятие аппроксимации, устойчивости и сходимости создали необходимую базу широкого поиска эффективных разностных схем для решения задач математической физики. Алгоритмы решения задач с помощью конечно-разностных методов, представляют собой сочетание методов построения разностных аналогов задач и методов их решения. Поэтому прогресс в теории конечно-разностных методов обязан взаимосогласованному развитию этих направлении исследовании.