Цели и задачи современного образования, положенные в основу концепции личностно-ориентированного обучения школьников, направлены на разрешение противоречий между базой знаний, умений и навыков, которые закладывает традиционная школа, и постоянно меняющимися требованиями, предъявляемыми к личности современными общественно-экономическими отношениями. Возникающие противоречия между уникальностью каждой личности и авторитарной методикой обучения с её набором педагогических штампов усиливают направленность школьного образования на его гуманизацию, на формирование личности ученика как наивысшей ценности. Изменения в целевых установках общеобразовательной школы, ориентация на создание оптимальных условий для развития творческого потенциала ребёнка с учётом его индивидуальных особенностей определили тему данной работы.
На пути реализации личностно-ориентированного обучения администрацией школы и педагогическим коллективом решается множество задач. Одной из них является задача оптимального назначения учителей-предметников в классы. Решение этой задачи особенно важно при переходе параллели классов из начальной в общеобразовательную школу.
В конце учебного года учителем и школьным психологом с помощью анкетирования, тестов и итоговых оценок проводится диагностика обучаемости, обученности, а также способности учащихся самостоятельно учиться, которая выражается показателем эффективности самостоятельной умственной деятельности. Полученные при этом результаты каждой диагностики классов заносятся в таблицу, что позволит учителю в дальнейшем наиболее целесообразно спланировать свою работу с классом по формированию необходимых знаний, умений и навыков по предмету, включая самоконтроль и самоуправление развитием. Более того, совокупность всех результатов диагностики позволяет ставить вопрос о наиболее целесообразном распределении учителей по классам рассматриваемой параллели с учетом их профессионального мастерства.
Исходными данными для построения математической модели организации личностно-ориентированного обучения в школе являются:
- множество учителей, назначаемых в классы данной параллели.
- множество современных педагогических технологий обучения [1]. Например, технология модульного обучения, интегральная технология, технология обучения с применением глобальных информационных сетей, технология уровневой дифференциации и методики диагностического целеполагания.
- множество классов данной параллели. Классы на основании результатов проведённых тестов отнесены к одному из уровней 
сформированности учебно-организационных умений. Множество этих уровней 
определяется следующим образом: 
- у учащихся отсутствует мотивация учебной деятельности; 
- учащиеся работают на репродуктивном уровне; 
- учащиеся работают на конструктивном уровне; 
- учащиеся работают на творческом уровне.
Сформулируем следующую задачу. В каждый класс 
требуется назначить одного из учителей 
, рекомендуя ему использовать в процессе обучения одну из технологий 
с учетом психолого-педагогических характеристик этого класса. Результатом такого назначения должно стать повышение уровня мотивации учебной деятельности, эффективности обучения в школе, повышение уровня обученности и самостоятельной умственной деятельности учащихся.
В математической постановке задачи используются следующие понятия и обозначения теории гиперграфов [2]: 
- гиперграф с множеством вершин 
и множеством рёбер 
; рёбра 
представляют собой подмножества множества V, т.е. 
. Если каждое ребро гиперграфа G состоит из 
вершин, то гиперграф G называют -однородным. При 
этот гиперграф G является 3-однородным; 3-однородный гиперграф G называется 3-дольным, если множество вершин V разбито на три подмножества VS, 
так, что в каждом ребре 
его вершины принадлежат различным долям, т.е. 
, . В этом случае гиперграф G будем обозначать через 
.
В гиперграфе звездой называется такая его часть 
, 
, в которой любые ребра 
пересекаются в одной и той же вершине 
, называемой центром звезды, т.е. мощность 
, и не пересекаются ни в какой вершине 
. Звезда называется простой, если всякая пара ребер пересекается только в одной вершине . Степенью звезды называют число рёбер в ней.
В рассматриваемой задаче для данного гиперграфа 
выполняются следующие условия:
1) в каждом ребре 
выделена пара вершин 
, называемых концевыми для этого ребра;
2) вершины 
являются внутренними вершинами, и множество V2 состоит из непустых попарно непересекающихся множеств 
, 
, причем каждый элемент 
однозначно соответствует некоторой технологии ;
3) концевые вершины 
являются висячими вершинами;
4) для каждой вершины 
из V1 указано число 
такое, что принадлежащая допустимому покрытию звезда с центром в вершине имеет степень и при этом выполняется равенство 
.
Если в подгиперграфе 
гиперграфа каждая компонента связности [2] является звездой с центром в некоторой вершине 
, то 
называем покрытием гиперграфа звездами.
Математическая модель рассматриваемой в настоящей работе задачи базируется на 3-дольном 3-однородном гиперграфе 
, который строится следующим образом. Вершины первой доли, т.е. , взаимно однозначно соответствуют элементам множества учителей U. Каждой вершине , соответствующей учителю , приписано число , определяемое нагрузкой учителя, а именно количеством классов рассматриваемой параллели, в которых данный учитель будет работать. Каждая вершина второй доли однозначно соответствует некоторому элементу из множества технологий обучения T. Вершины третьей доли 
взаимно однозначно соответствуют элементам множества классов K. Для построения множества рёбер рассматриваем всевозможные тройки вершин 
такие, что 
, 
, 
. Всякую такую тройку называем допустимой, если учитель 
может вести занятия в классе 
, используя технологию обучения 
. Множество всех рёбер определяется как множество всех допустимых троек 
, 
, 
.
Для определенных параметров , 
в гиперграфе 
допустимым решением рассматриваемой задачи является всякий такой его подгиперграф 
, 
, 
, в котором каждая компонента связности представляет собой простую звезду степени с центром . Через 
обозначим множество всех допустимых решений (МДР) задачи покрытия гиперграфа G звездами.
Каждому ребру 
гиперграфа 
приписаны три веса 
, которые означают следующее: 
- ожидаемое изменение коэффициента мотивации учебно-познавательной деятельности учащихся класса (в %) в случае, когда учитель, представленный вершиной , назначен в класс, представленный вершиной с использованием технологии обучения, представленной вершиной ; 
- ожидаемое изменение (в том же случае) коэффициента обученности учащихся класса (в %); 
- ожидаемое изменение показателя эффективности активной самостоятельной умственной деятельности учащихся (в %) в этом же случае.
Качество допустимых решений этой задачи 
оценивается с помощью векторной целевой функции (ВЦФ)
(1)
где 
- критерий вида 
, 
, что означает ожидаемый уровень мотивации учебно-познавательной деятельности учащихся класса параллели, находящихся на самом низком уровне сформированности учебно-организационных умений; 
и 
- критерии вида 
где критерий означает суммарное изменение ожидаемого уровня обученности учащихся всей параллели классов по предмету, а критерий - суммарное изменение ожидаемого уровня активной самостоятельной умственной деятельности учащихся всех классов параллели.
ВЦФ вида (1) определяет в МДР 
паретовское множество (ПМ) 
, состоящее из паретовских оптимумов (ПО) 
[3]. В случае, если одинаковые по значению ВЦФ решения 
считаются эквивалентными (неразличимыми), то из ПМ выделяется полное множество альтернатив (ПМА) 
. ПМА представляет собой максимальную систему векторно-несравнимых ПО из , 
.
Наиболее целесообразное решение выбирается из ПМА с помощью процедур теории выбора и принятия решений [4].
Литература
- Беспалько В.П. Педагогика и прогрессивные технологии обучения. 1995. М.: Педагогика. 98 с.
- Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. 1990. М.: Наука. 384 с.
- Емеличев В.А., Перепелица В.А.//Дискретная математика. 1994. Т. 6. вып.1. С. 3.
- Ларичев О.И. Наука и искусство принятия решения. 1979. М.: Наука. 200 с.