Scientific journal

Advances in current natural sciences

ISSN 1681-7494

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,775

Уравнение

L(u) = sgn y|y|^m u_xx + u_{yy = 0,}                                  (1)

m>0, рассмотрим в области D, ограниченной гладкой кривой Г, лежащей в полуплоскости y>0, с концами А(0,0), В(1,0), а в полуплоскости y<0 отрезками характеристик

,

Введем обозначения D⁺ = D ∩ {y>0}, D^- = D ∩ {y<0}.

Задача Т_в. . Найти функцию u(x,y) со свойствами:

1) u(x,y) ∈ C(D);

2) u_xx,u_yy ∈C(D⁺ ∪D^-);

u_y  ∈ C(D), L(u) = 0 в D⁺ ∪D^-

3) u(x,y) подчиняется краевым условиям

u|_г = φ (s),                                                   (2)

s - длина дуги кривой Г, отсчитываемой от точки В.

u|_АС = f(x), x ∈ [0; ]                             (3)

4) u(x,y) подчиняется условию сопряжения

v⁺(x) = H^-(x), x ∈ (0,1),                           (4)

v⁺(x) = u_y, x ∈ (0,1),                       (5)

H^-(x) = (x - t)^-2qv^-(t)dt, x ∈ (0,1),                    (6)

v^-(x) =  u_y, x ∈ (0,1),                        (7)

 Теорема единственности поставленной задачи доказывается с применением утверждений леммы Бабенко [1] и леммы.

Лемма. Если u(x,y) ∈ C(D) - решение уравнения (1) в области D^- таково, что u(x,y) =  (x) достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке х₀, ∈ (0,1), при этом u|_AC = 0 и  2q, то Н^- (х₀)>0 (H^-(x₀)<0).