Scientific journal

Advances in current natural sciences

ISSN 1681-7494

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,775

Достоинства цифровых методов представления, обра­ботки, передачи и хранения информации, бурное развитие элементной базы - все это способствует тому, что циф­ровые методы обработки и передачи информации стали основным направлением развития телекоммуникационных систем. Эффективность методов цифровой обработки сиг­налов (ЦОС), составляющих основу многих ИТ, полно­стью определяется математической моделью ЦОС.

Существующая в последние годы тенденция в цифро­вой вычислительной технике к распараллеливанию вычис­лений связана с непрерывным ростом требований к произ­водительности вычислительных устройств ЦОС.

Однако предъявляемые жесткие временные ограниче­ния и отсутствие высокопроизводительной нейросетевой базы ЦОС является основным сдерживающим фактором широкого внедрения методов цифрового преобразования сигналов в системах передачи речи со сжатием, статистиче­ским уплотнением, пакетной коммутацией, IP-телефонии и других инфотелекоммуникационных системах.

При анализе сигналов и цифровых методах их обра­ботки особое внимание привлекают ортогональные преоб­разования благодаря простоте вычисления координат раз­лагаемых функций в пространстве. Такие преобразования определены над полем комплексных чисел,  

где - поворачивающий коэффициент;

x(n)- количество отсчетов, k=0,...,N-1, n=0,...,N-1.

Известно, что реализация прямого и обратного ДПФ предопределяет значительные погрешности при вычисле­нии значений спектральных коэффициентов в поле ком­плексных чисел. С этой точки зрения наиболее привлека­тельными являются преобразования, определенные над расширенным полем Галуа GF(p^v). Так как элементы поля представляют собой целочисленные элементы расширен­ного поля Галуа, то при реализации выражений (1) и (2 бу­дут полностью отсутствовать шумы округления [1-3].

Рассмотрим возможность выполнения обобщенного ДПФ в расширенных полях Галуа с использованием конеч­ных полиномиальных колец, полученных с помощью не­приводимых полиномов.

Пусть имеем конечное кольцо полиномов P(z), с коэф­фициентами в виде элементов поля GF(p), определяюще­го точность вычисления ортогональных преобразований сигналов. Положим, что данное кольцо разлагается в виде P(z) = P₁(z) + P₂(z) +...+ P_k(z), где P₁(z) - локальное кольцо полиномов, образованных неприводимым полиномом p_l(z) над полем GF(p); l=1, ...,k. Тогда справедлива теорема.

Теорема: Пусть P(z) - конечное кольцо полиномов с коэффициентами поля GF(p) представляет собой прямую сумму локальных колец полиномов

P(z) = P₁(z) + P₂(z) +...+ P_m(z),

Тогда в данной системе существует ортогональное пре­образование, представляющее собой обобщенное ДПФ, если выполняются следующие условия:

1. β ₁(z) - первообразный элемент порядка d для локаль­ного кольца p₁(z), где l=1, ...,m.
2. d имеет мультипликативный обратный элемент d^*.

Доказательство: Ортогональное преобразование явля­ется обобщенным ДПФ для кольца вычетов P(z) если суще­ствуют преобразования вида

над конечным кольцом p ₁(z).

Полученная циклическая группа имеет порядок d. По­этому дискретное преобразование Фурье над p₁ (z) можно обобщить над кольцом P(z), если конечное кольцо p₁ (z) со­держит корень d-ой степени из единицы и d имеет мульти­пликативный обратный элемент d^*, такой что справедливо

d*d=p^v-1. (5)

Доказательство закончено.

Основным преимуществом теоремы является возмож­ность организации ортогональных преобразований сигна­лов на основе обобщенного ДПФ в расширенных полях Галуа при различных значениях разрядности сетки, задава­емой значением конечного кольца P(z). При этом вычисле­ния организуются параллельно, независимо друг от друга, что значительно повышает быстродействие ЦОС.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Калмыков И.А. Математические модели нейросете-вых отказоустойчивых вычислительных средств, функцио­нирующих в полиномиальной системе классов вычетов/ Под ред. Н.И. Червякова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 276 с
2. Калмыков И.А., Чипига А.Ф. Структура нейронной сети для реализации цифровой обработки сигналов повы­шенной разрядности/Вестник Ставропольского Государ­ственного Университета,2004, Выпуск №38 с.46-50.
3. Элементы применения компьютерной математики и нейроинформатики/Н.И. Червяков, И.А. Калмыков И.А., В.А. Галкина, Ю.О. Щелкунова, А.А. Шилов; Под ред. Н.И. Червякова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 216с.