Scientific journal

Advances in current natural sciences

ISSN 1681-7494

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,775

Начертательная геометрия решает прямые и обратные задачи, которые заключаются в следующем: по данной поверхности на носителе (кривой (прямой), поверхности (плоскости)) с помощью аппарата проецирования получить модели; по данной модели и аппарату проецирования сконструировать поверхность. При решении прямой задачи данная поверхность расслаивается в пучке плоскостей с собственной или несобственной осью.

Геометрическое моделирование решая обратную задачу - по данной моделям конструирует поверхности. В этом случае в качестве моделей выступают табличные данные, устанавливающие на осях системы координат определенные соотношения. При этом необходимо, чтобы в одном направлении, например, оси ординат, сохранялось взаимно однозначное соответствие, необходимое требование для конструирования единственной поверхности.

В общем виде задачу геометрического моделирования многофакторных зависимостей представляется в следующем виде: в результате экспериментальных исследований или статистических данных имеем дискретные значения параметров, зависящих от n-1 зависимых или независимых друг от друга аргументов (компонентов) c₁, c₂, ... , c _n-1

Необходимо смоделировать зависимость и получить ее уравнение

F (t, c₁, c₂,..., c _n-1) = 0       (1)

Геометрическая интерпретация поставленной задачи заключается в следующем:

в n мерном пространстве имеем набор фиксированных  точек, на которые необходимо натянуть гиперповерхность и получит ее

уравнение. Эта моделируемая гиперповерхность должна пересекать, например, вертикальную ось данной системы координат, в одной точке, для обеспечения однозначного соответствия между значением функции и значениями аргументов c₁, c₂, ... , c _n-1. Поэтому зависимость должна моделировать моноидальную гиперповерхность с вершиной в несобственной точке, например вертикальной оси оt [1].

Моделируемая гиперповерхность несет дискретный каркас одномерных образующих

t = f(c_1i)

где i=1,2...n-1 (см. рис. 3), двумерных образующих (2-поверхностей) и другого параметра c_2j.

t = φ (c _1i, c _2j)

где i=1,2....n-1;  j=1,2...n-1,трехмерных образующих (3-поверхностей) параметров c_1i ,  c_2 j , c_3k 

t= ψ (c_1i , c_2j , c_3k )

где i=1,2...n-1;j=1,2...n-1;k=1,2....n-1 и т.д., параметроносители 2–, 3 – поверхностей и т. д.

В литературе рассматриваются случаи конструирования поверхностей в пучке с собственной и несобственной осью, но не рассматривается вопрос моделирования и конструирования поверхностей расслаивающихся в связке плоскостей. Такой подход позволяет моделировать технологические процессы с реагирующими между собой компонентами, т. к. образованные в результате реакций новые компоненты описываются параметроносителями 2– , 3– и т. д. поверхностей. Трудности заключаются в получении уравнений процессов, где компоненты нереагируют между собой. В настоящей статье рассматривается вопрос конструирования поверхностей расслаивающихся в связке ортогональных плоскостей, для чего доказана теорема (синтетический способ вывода уравнения поверхности):

Сумма трех уравнений ортогональных сечений,  инцидентных точке данной поверхности,  дает уравнение этой поверхности.

Для доказательства возьмем, например, уравнение поверхности второго порядка в виде

Ax² +By² +Cz² +2Lx+K=0,     (2)

где плоскости уОz z и xOz совпадают с двумя сопряженными диаметральными плоскостями.

Возьмем точку N(a,b,c) ∈ (2) и через нее проведем связку ортогональных плоскостей

Известно, что связка плоскостей ортогональна, когда выполняется условие

Поэтому в качестве плоскостей (3), (4) и (5) в нашем случае можно взять плоскости

x = a, (7)

y = b, (8)

z = c. (9)

Cечения связкой плоскостей  N(a,b,c) поверхности (2) будут иметь следующий вид

Aa² +By² +Cz² +2La+K=0 (10)

Ax² +Bb² +Cz² +2Lx+K=0 (11)

Ax² +By² +Cc² +Lx+K=0 (12)

Cкладывая уравнения сечений(10)-(12) поверхности получим выражение

2(Ax² +Bb²+Cz²+2Lx+K)+(Ax² +By² Cc² +La+K)=0 (13)

в котором вторая скобка равна нулю, так как точка N(a,b,c) принадлежит конструируемой поверхности (2), что и требовалось доказать.

Приведем примеры получения уравнений поверхностей, инцидентных связке плоскостей. Возьмем в трех ортогональных плоскостях связки N(a,b,c) сечения

x = a

y = b

z = c

соответственно уравнения сечений

Складывая их получим уравнение гиперболического параболоида в канонической форме

Если в связке ортогональных плоскостей с вершиной в точке N(a,b,c) сечения

x = a

y = b

z = c

взять сечения в виде

z⁴ =4p(a² +y² ), (18)

z⁴ =4p(x² +b² ), (19)

c⁴ =4p(x² +y² ), (20)

и, сложив их получим уравнение параболоида вращения четвертого порядка,

z⁴ =4p² (x² +y² ), (21)

полученного от вращения параболы

z² =4px (22)

вокруг оси zO.

Диаграмма состояния трехкомпонентной системы изображается некоторой поверхностью в R³ , в уравнении которой три неизвестные служат для задания состава, а четвертая – для задания температуры. На практике принято состав трехкомпонентной системы изображать равносторонним треугольником, который называется концентрационным на его сторонах откладывают значения концентраций солей, температура в этом случае присутствует опосредовано. Точки внутренней области треугольника изображают трехкомпонентную систему с той или иной концентрацией ее компонент, которые не образуют между собой химических соединений, неограниченно взаимно растворимы в жидком состоянии и не способны к полиморфным превращениям. Концентрационный треугольник затрудняет или делает невозможным моделирование состояния n-компонентной системы при n >3.

Рассмотрим некоторые вопросы вывода уравнения поверхности, моделирующей трехкомпонентную систему на конкретных примерах. Для этого в четырехмерном пространстве R⁴ задается некоторая декартовая система координат, на одной из которых откладываем значения температур, а на других осях – концентрации С1 , C2 , C3.  В результате в четырехмерном пространстве получается поверхность, моделирующая систему.

Покажем вывод уравнения поверхности ликвидуса расплава трех солей заданного сечения

[25%Li2SO4 +75%Cs2Cl]←→BaSO4 . (23)

Табл. 1

По табличным данным (см. табл. 1) написать уравнение поверхности ликвидуса, вычислить координаты точки эвтектики Е_эвт. (С_1эвт. , С_2эвт. , С _3 эвт. , Т_эвт).

Для решения поставленной задачи введем обозначения:

С1 – концентрация компоненты Li 2 SO4 , %;

С2 – концентрация компоненты СsCl 2 , %;

C3 – концентрация компоненты BaSO4 , %;

Т – температура плавления, ⁰С.

Для вывода уравнения моделируемой поверхности, необходимо пересчитать значения концентраций компонент, чтобы они в смеси удовлетворяли требованию С1 +С2 +С3  = 100% и результаты пересчитанных табличных данных сведем в табл. 2.

Для вывода уравнения моделирующей поверхности получаем уравнения сечений:

Сложив уравнения (24)-(26) получим уравнение поверхности ликвидуса

Значит, точка эвтектики смеси солей вычислим из уравнения (27)

 Е _эвт. (0,888;24,778;74,334;537,8).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК:

1. Вертинская Н. Д. Многомерное математическое моделирование многофакторных и многопараметрических процессов в многокомпонентных системах / Н. Д. Вертинская. – Иркутск: Изд- во ИрГТУ, 2001. – 289 с.
2. Вертинская Н. Д. Математическое моделирование нереагирующих между собой веществ. Сб. Инженерная механика. Луцк 2008. Вып. 22, ч. 1. С. 51-56.
3. Вертинская Н. Д. Моделирование и конструирование поверхностей, несущих каркасы кривых высших порядков. Сб. Современные проблемы геометрического моделирования. Харьков. 2007. – С. 243 - 249.
4. Вертинская Н. Д. Обоснование метода конструирования поверхностей связкой ортогональных сечений. // Вестник Иркутского регионального отделения Академии наук высшей школы России. № 1 (4). Иркутск. 2004. – С. 115 – 119.