Рассмотрим следующую краевую задачу:
(1)
с граничными условиями
(2)
где потенциал q(x) - суммируемая функция, удовлетворяющая условию
(3)
В уравнении (1) число λ - спектральный параметр, функция ρ(x) называется весовой функцией, функция q(x) называется потенциалом, число n - порядок дифференциального оператора (1)-(2), n = 2, 3, 4, ...
Мы будем предполагать, что весовая функция ρ(x) является достаточно гладкой: 
.
Автором разработан метод нахождения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач типа (1)-(2) при условии выполнения (3). Для случая n = 2, ρ(x) = 1 другой метод был продемонстрирован в фундаментальной работе [1].
Кроме дифференциального уравнения (1), рассмотрим также вспомогательное дифференциальное уравнение
(4)
Для изучения асимптотики собственных значений и асимптотики собственных функций краевых задач, связанных с дифференциальным уравнением (1), необходимо знать асимптотику решений дифференциальных уравнений (1) и (4).
Пусть 
- некоторая фиксированная ветвь корня, выбранная условием 
.
Пусть ωk - корни n-й степени из единицы, то есть 
n = 2, 3, 4, ...; k = 1, 2, ..., n - 1, n. Эти числа удовлетворяют следующим свойствам: 
m = 1, 2, 3, ..., n - 1.
Теорема 1. Решение дифференциального уравнения (1) является решением следующего интегрального уравнения Вольтерра:
(5)
где yk(x, s) (k = 1, 2, ..., n) - фундаментальная система решений вспомогательного дифференциального уравнения (4), Δ0(s) - определитель Вронского этих решений:
при этом несложно доказать, что Δ0(s) не зависит от x, Ck(k = 1,2,...,n) - произвольные постоянные.
Из формулы (5) методом последовательных приближений Пикара можно вывести асимптотику решений дифференциального уравнения (1). Для дифференциального оператора второго порядка это было сделано автором в работе [2].
При этом из теоремы 1 видно, что для нахождения асимптотики решений дифференциального уравнения (1) необходимо знать асимптотику решений { yk (x,s) , k = 1,2,..,n } вспомогательного дифференциального уравнения (4) при больших значениях спектрального параметра λ (то есть асимптотику при |s| → + ∞ ).
Теорема 2. Общее решение вспомогательного дифференциального уравнения (4) имеет следующий вид:
(6)
где Ck (k = 1,2,..,n) - произвольные постоянные, yk(x, s) - линейно независимые решения дифференциального уравнения (4), причём при |s| → + ∞ ). справедливы следующие асимптотические разложения:
k = 1,2, .., n (7)
Идею разложения вида (7) мы нашли в монографии М.В. Федорюка [3].
Введём следующие обозначения:
(8)
Через «+...» в формулах (7) и (8) обозначены следующие выражения:
Условие позволяет асимптотические разложения вида (7) дифференцировать почленно n раз (n = 2, 3, ...). При этом мы получим:
(9)
При этом в формуле (10) Ψm-8 (x) - некоторая функция, причём если у сомножителя (aωks)m-p (p = 1, 2, 3, ...) степень m - p становится меньше нуля, то это слагаемое обнуляется.
Приведём ещё пару формул для Фpn (x,s) в равенстве (9):
При этом на коэффициенты Bpn,m, Dpn,m, E pn,m, (p = 1, 2, 3, ...) из формул (10)-(12) нами впервые получены реккурентные соотношения, из которых методом математической индукции можно вывести формулы для этих коэффициентов в явном виде и тем самым получить асимптотические формулы для решений вспомогательного дифференциального уравнения (4) (и дифференциального уравнения (1) тоже), а также асимптотические формулы для собственных значений краевой задачи (1)-(2).
Например:
Если мы подставим формулы (9)-(13) при n = 2 (или при n = 3) в дифференциальное уравнение (1) (при n = 2, или при n = 3), приведём подобные слагаемые и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях s (этот метод называется методом последовательных приближений Хорна), то найдём в явном виде коэффициенты A1k2 (x), A2k2 (x), .. (или A1k3 (x), A2k3 (x),.. ). Это не было сделано ни в монографии [3], ни в других работах.
Впервые это было сделано автором в §3 главы 5 монографии [4].
Приведём явные формулы, полученные нами.
Введём необходимые нам обозначения:
Из формул (9)-(13) получаем:
(15)
(17)
Список литературы
-
Винокуров В.А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Серия: матем. - 2000. - Т. 64, №4. - С. 47-108.
-
Митрохин С.И. О спектральных свойствах дифференциального оператора с суммируемым потенциалом и гладкой весовой функцией. - Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. - 2008. - №8/1(67). - С. 172-187.
-
Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1983. - 352 с.
-
Митрохин С.И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. - М.: ИНТУИТ, 2009. - 364 с.