В книге П.В. Маковецкого «Смотри в корень» сформулирована задача о качении без скольжения тела правильной геометрической формы при заданной прямолинейной траектории его фиксированной точки. Её решение оказалось непосильным для автора. Приводится решение этой задачи на основе теории плоского движения твердого тела.
Задано уравнение контура тела (подвижной центроиды) vp = vp(up) в системе координат uO′v, жестко скрепленной с телом, и уравнение траектории точки A(uA, vA)yA = yA(xA) в неподвижной системе xOy (рис. 1). Требуется определить неподвижную центроиду.
Рис. 1
Угол ξ поворота подвижной системы uO′v относительно неподвижной xOy
Это выражение является разрешающим, с помощью которого устанавливается связь между положениями точки А и мгновенного центра вращения точки Р. Используем выражение радиуса кривизны траектории точки А
где rA - мгновенный радиус точки А. Диаметр круга Лагира 
(Sp - длина дуги центроид), угол между мгновенным радиусом точки А и общей нормалью к центроидам
С учетом того, что
имеем
Признаком экстремума неподвижной центроиды является равенство нулю первой производной 
. Признаком точки перегиба является равенство нулю второй производной 
. Координаты произвольной точки тела определяютcя по формулам
Рассмотрены случаи, когда точка А движется по прямой yA = const (ρA = ∞) и контур тела ограничен прямыми 
.
Пример 1. Качение правильного треугольника при 
(рис. 2). Известна сторона треугольника a = 3 см. При наличии симметрии достаточно построить один из «ухабов» (они повторяются). Из рисунка видно, что имеет место подрезание.
Пример 2. Качение четырехугольника произвольной формы при yA = 5,3 см (рис. 3). Заданы размеры: U1 = 55,26°; U2 = 24,44°; U3 = 58,18°; U4 = 35,73°; BC = 6,45 см; CD = 5 см; DE = 4 см; BE = 6 см. Подрезание также имеется. Ясно, что оно имеет место при условии, когда внутренний угол при вершине контура (в общем случае, угол между сопряженными в ней касательными) не превышает 90°.
Отметим следующее.
1. Получено общее решение задачи П.В. Маковецкого о качении без скольжения тел произвольной формы при движении фиксированной точки по заданной траектории.
2. Подтверждено отмеченное автором наличие подрезания, возникающего из-за геометрической несовместимости габаритной полосы движения тела и неподвижной центроиды, установлено условие его появления.
3. В решении задачи, возможно, кроется разгадка строительства египетских пирамид, когда тяжелые плиты вручную поднимались по «подкатным» путям, обеспечивающим траектории центров тяжести плит с небольшими углами наклона к горизонтали.
4. Выполненное решение может быть положено в основу проектирования зубчатых передач, в которых отсутствует трение скольжения, приводящее к преждевременному износу существующих пар с эвольвентным зацеплением.
Рис. 2
Рис. 3