Scientific journal

Advances in current natural sciences

ISSN 1681-7494

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,775

Рассматривается равновесие составной конструкции (рис. 1), имеющей внутренние односторонние связи в точках Е и F [1]. Требуется:

1) выяснить, какая из связей работает, т.е. в какой из точек Е или F при заданной нагрузке имеет место контакт (на рисунке показаны зазоры в обоих случаях), а также определить реакции связей;

2) определить область значений угла a, в точках которой R_E > 0, и область значений этого угла, в точках которой R_F > 0.

Рис. 1

Предполагая, что контакт осуществляется в точке E, расчленяем конструкцию на составляющие ее тела AC, CD, EFDL и рассматриваем равновесие каждого тела отдельно; при этом действие связей заменяем их реакциями. На каждое тело действует уравновешенная плоская система сил. Расчетная схема для тела AC приведена на рис. 2.

Рис. 2

Уравнения равновесия сил, действующих на тело CD, имеют вид:

 (1)

Расчетная схема для тела CD приведена на рис. 3. Заметим, что   .

Рис. 3

Уравнения равновесия сил, действующих на тело CD, имеют вид:

 (2)

Расчетная схема для тела EFDL приведена на рис. 4. Заметим, что  , .

Уравнения равновесия сил, действующих на тело CD, имеют вид:

 (3)

Рис. 4

Из системы девяти уравнений (1)-(3) можно определить неизвестные реакции связей R_E, X_A, Y_A, R_B, X_C, Y_C, X_D, Y_D, R_L.

Аналогичнопредполагая, что контакт осуществляется в точке F, получаем систему уравнений для определения реакций связей R_F, X_A, Y_A, R_B, X_C, Y_C, X_D, Y_D и R_L и (эта система здесь не приводится).

Решение полученных систем линейных уравнений проводилось в среде Mathcad. Использовался метод обратной матрицы. Расчеты показывают, что при заданных нагрузках контакт имеет место в точке E, так R_E > 0.

Определим область значений угла α при условии R_E > 0. Для этого воспользуемся принципом возможных перемещений. Предполагая, что контакт осуществляется в точке E, освободим конструкцию от связи в этой точке, заменив ее действие реакциями  и . Полученный плоский механизм имеет одну степень свободы. Звено AC этого механизма может вращаться вокруг неподвижного центра A, а звенья EFDL и CD - совершать плоское движение. Сообщим звену AC возможное перемещение δφ1 (рис. 5). Возможным перемещением звена CD является поворот на угол δφ2 вокруг мгновенного центра вращения P₂, а возможным перемещением звена EFDL- поворот на угол δφ3 вокруг мгновенного центра вращения P₃. Центр P3 найден как точка пересечения перпендикуляров к направлениям возможных перемещений точек B и L, а центр P₂ - как точка пересечения перпендикуляров к направлениям возможных перемещений точек C и D.

Рис.5

Записывая уравнение работ принципа возможных перемещений, получаем

 (4)

Учитывая, что

из уравнения (4) находим

 (5)

Аналогично, полагая, что контакт осуществляется в точке F, находим

 (6)

Располагая формулами (5) и (6) (вообще говоря, достаточно одной из них) можно найти области значений угла a на отрезке [-π, π] в точках которых выполняются неравенства R_E > 0 или R_F > 0. Расчет проводился в среде Mathcad. Построены графики функций R_E(a) и R_F(a). Корни уравнений R_E(a) = 0 и R_F(a) = 0 на отрезке [-π, π] определены с помощью функции-процедуры root.

Список литературы

1. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике / под ред. А.А. Яблонского. - М.: Высшая школа - 1985.
2. Кирьянов Д. В. Самоучитель Mathcad 11. - СПб.: БХВ-Петербург - 2003.