Рассмотрим один из вариантов системы магнитно-импульсной штамповки (СМИШ) с одновитковым индуктором [1]. При замыкании конденсаторной батареи на индуктор на поверхности разреза индуктора подается импульсное напряжение, равномерно распределенное по поверхностям разреза индуктора и с известным законом изменения по времени. Протекающий по индуктору объемный ток индуцирует в заготовке переменное электромагнитное поле, приводящее к возникновению в объеме системы пондеромоторных сил. Их радиальная составляющая, возникающая в заготовке, приводит к ее обжатию.
При декомпозиции СМИШ можно выделить две подсистемы:
- электрическая подсистема, определяющая пондеромоторные силы;
- деформационная подсистема, определяющая деформации заготовки в процессе действия импульса и после его окончания.
Связь между подсистемами обеспечивается пондеромоторными силами и ускоренными движениями заготовки. В первом приближении вторая связь может считаться слабой и вследствие этого может быть оборвана. Это дает возможность вместо связной задачи электромагнитного поля и деформирования определить последовательность двух задач:
- определение пондеромоторных сил в СМИШ;
- определение деформаций заготовки при действии известных пондеромоторных сил на заготовку.
Рассмотрим математическую формулировку первой задачи. Примем, что пространствозадачи не содержит диэлектриков, тогда в области задачи, где будут существовать электрические токи, диэлектрическая постоянная e будет равна 1, и вектор напряженности электрического поля 
будет совпадать с вектором электрической индукции 
.
Будем считать, что пространство задачи не содержит ферромагнетиков. Это значит, что магнитная проницаемость m постоянна и близка к 1 (что характерно для обычных диа- и пара- магнитных тел), и, следовательно, вектор магнитной индукции B совпадает по направлению с вектором напряженности магнитного поля H. Таким образом, эффектами, обусловленными появлением вектора намагничения среды, будем пренебрегать в силу малости молекулярных токов по сравнению с токами проводимости.
Также примем, что в рассматриваемой области отсутствуют сторонние электрические заряды, т.е. их плотность ρэл = 0.
Как известно [1], объемная плотность пондеромоторных сил, в рамках сделанных предположений, определяется формулой:
F = j⋅H,
где F - вектор пондеромоторных сил; j - вектор объемного тока; H - напряженность магнитного поля.
Вектор плотности тока находим, используя закон Ома в дифференциальной форме:
j = λE.
Здесь λ - удельная электропроводность, E - напряженность электрического поля. Она определяется тремя составляющими:
Здесь φ - так называемый скалярный потенциал, A - векторный потенциал, v - скорость сплошной среды. Последнее слагаемое выражает слабую связь между электрической и деформационной подсистемами и в первом приближении может быть опущено.
Потенциалы j и A вводятся таким образом, чтобы удовлетворить уравнениям Максвелла:
Напряженность магнитного поля определяется через векторный потенциал:
H = rotA.
Отметим, что в низкочастотной постановке «инерционными» слагаемыми в (4) следует пренебречь. Тогда состояние электрической подсистемы описывается уравнениями относительно скалярного и векторного потенциалов:
(6)
Граничные условия для скалярного потенциала следующие:
- на поверхностях разреза индуктора:
(7)
- на поверхностях z = 0, z = h, r = r1н, r = r1в, r = r2н, r = r2в, z = 0:
n⋅∇φ = 0; (8)
здесь h - высота СМИШ, r = r1н, r = r1в - наружный и внутренний радиусы индуктора, r = r2н, r = r2в - то же для заготовки.
Очевидно, что формулировка уравнений относительно скалярного и векторного потенциалов также может быть подвергнута декомпозиции, так как первое уравнение относительно скалярного потенциала может быть решено отдельно как однородное гармоническое уравнение с неоднородными граничными условиями. Второе уравнение системы, представляющее уравнения теплопроводности, не имеет условий на границах, но будет неоднородным:
с однородными начальными условиями.
Список литературы
1. Математическое моделирование электромеханических процессов в индукторе для магнитно-импульсной обработки металлов / А.К. Талалаев, В.Д. Кухарь, А.А. Орлов и др. - Тула: Изд. ТулГУ, 2004. - 118 с.