В настоящей работе авторы предлагают новый метод доказательства теоремы разложения в обобщенный интеграл Фурье. Этот метод проще известных и вполне элементарен. Он позволяет также без особого труда исследовать спектры различных дифференциальных операторов, что авторам представляется наиболее интересным во всей теории. Предлагаемый подход является развитием и обобщением метода, довольно часто встречающегося в работах А.Ф. Леонтьева и применяемого авторами в настоящей работе в той или иной форме. Данная работа предназначена для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов и университетов, а также технических университетов и может быть использована при проведении практических и семинарских занятий, в лекционных курсах, при написании курсовых и дипломных работ. В первой части приводится достаточно полный обзор по теории операторных уравнении для операторов бесконечного порядка рассматриваемых в различных локально-выпуклых пространствах. Во второй части рассматриваются вопросы спектрального синтеза. Как известно, в классической математической физике большую роль играет разложение произвольных функций в ряды Фурье по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка. За исключением нескольких важных случаев (функции Бесселя, ортогональные полиномы Лежандра, Чебышева-Эрмита
и т.д.) в классической математической физике обычно предполагаются конечность интервала и ограниченность коэффициента уравнения. Обобщение теории на случай бесконечного интервала или особенностей в коэффициентах встречало значительные трудности и стало возможным лишь после создания спектральной теории линейных операторов в гильбертовом пространстве. Это обобщение с достаточной полнотой было дано Г. Вейлем. Авторами исследуются разложения обобщенных функций (распределений) относительно некоторых общих классов законченных ортонормированных систем. Для этого проводится исследование поведения функции N(I) на закрытом интервале I = [a, b], содержащем нормализованные собственные функции 
из системы Штурма -Лиувилля.
Научный руководитель доцент кафедры ВМиИ ЛПИфСФУ Золожук П.А.