Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,775

Personal portfolio

PRINCIPLES OF THE MODULAR CONSTITUTION OF THE REGULAR FRACTAL FRAMES

Ivanov V.V. Talanov V.M.
Key feature of fractal frames is their self-similar hierarchic organisation in appropriate metrical room [1-6]. Property of endless self-similarity means an exact scale invariance geometrically the regular fractal frame concerning a panel of serial processes of mappings of similarity a method of iterations.

Формально в рамках итерационного метода существуют два принципиально разных подхода к формированию регулярной фрактальной структуры F: инъективный и сюръективный. Будем рассматривать фрактальную топологию объектов в геометрическом двумерном пространстве. Тогда по аналогии с представлениями теории фрактальных множеств [7-9] имеем:

1. Инъективный подход - если SI...SN - набор сжимающих отображений метрического двумерного пространства со структурой F на себя, то найдется единственная компактная фрактальная структура F(2), такая что

F(2) = SI(F) χ...χ SN(F),

а

Si(Fi) = Fi+1 = ImFi δ Fi.

Инъективное отображение Si предполагает вложение образа структуры ImFi в подобный элемент структуры Fi. В результате бесконечной итерационной процедуры образы ImFi компактной фрактальной структуры F(2) становятся точками.

2. Сюръективный подход - если SI...SN - набор растягивающих отображений части пространства (генератора G) на полное метрическое двумерное пространство, то найдется единственная бесконечная фрактальная структура F(2), такая что

F(2) = SI(G) χ...χ SN(G),

а

Si(Gi) = Gi+1 = ImGi ε Gi.

Сюръективное отображение Si предполагает такое расширение генератора, при котором возможно вложение прообраза его Gi в структурный элемент подобного ему образа ImGi. В результате бесконечной итерационной процедуры полный образ ImGi бесконечно размерной фрактальной структуры F(2) содержит упорядоченные в двумерном пространстве структурные элементы в форме генератора G.

При сюръективных отображениях генератора G из N элементов a с (b2 - N) дополнениями a׳ в элемент образа ImG образуется соответствующее количество орбит элементов ai и a׳i [9]. Они представляют собой инвариантные частично упорядоченные подмножества множеств {a} и {a׳}. Каждая орбита одинаковых элементов a - однородное N - элементное дерево, а орбиты дополнений a׳ - неоднородны и состоят из полностью упорядоченных цепей, фильтрующихся влево, при этом каждый i-й элемент цепи является корнем однородного дерева с (i - 1) ветвлениями.

При инъективных отображениях генератора G из N элементов a с (b2 - N) дополнениями в каждый из элементов ai также образуются два подмножества {a} и {a׳}. Они могут быть представлены как множества соответствующих орбит [9]. Орбиты a представляют собой N полностью упорядоченных цепей, фильтрующихся вправо с элементами-корнями однородных деревьев с определенным количеством ветвлений. Орбиты a׳ есть (b2 - N) неоднородных N - элементных полностью упорядоченных деревьев с количеством ветвлений, соответствующим итерации.

Отметим, что в обоих подходах при конечном числе итераций формируются предфракталы (компактные или конечноразмерные, соответственно), состоящие из самоподобных модулей. Однако только при сюръективном подходе к формированию предфракталов процесс их образования аналогичен росту поверхностных фрактальных структур из одинаковых модулей, размеры которых коррелируют с размерами молекул, атомных кластеров, наночастиц и других атомных ассоциатов.

Замкнутые фрактальные кривые задаются на прямолинейном отрезке - стороне {n}-гона генератором в виде ломаной кривой с определенным коэффициентом самоподобия. При последовательном инъективном отображении образов ее в отрезки-прообразы на периметре полигона образуется замкнутая фрактальная кривая. Если в качестве инициального множества рассматривать некоторые двумерные сетки Кеплера-Шубникова, узлы которых удовлетворяют условию топологической эквивалентности окружения {n}-телами и лакунами, то получим соответствующее упорядоченное в двумерном пространстве множество фрактальных кривых {F(1)}. Их пересечения образуют множество упорядоченных в пространстве точек, в общем случае изоморфное множеству узлов инициальной двумерной сетки.

Множество {F(1)} можно одновременно рассматривать в качестве квазифрактальной границы как растущей поверхностной фазы так и остального, лакунарного пространства, которое является дополнением до двумерного пространства. В некоторых случаях лакунарные кривые распадаются на множества самоподобных фрактальных кривых, которые обладают свойствами канторова множества [10, 11]. В этом случае сами лакунарные замкнутые фрактальные кривые могут быть представлены как множества орбит, которые суть полные упорядоченные цепи, фильтрующиеся вправо, а элементы цепи - корни однородных деревьев с 2-ветвлением.

На основании результатов предварительного анализа особенностей строения регулярных фрактальных структур можно сформулировать следующие принципы.

1. Принцип модулярного строения регулярных фрактальных структур: Любая регулярная фрактальная структура может быть представлена из одинаковых минимальных модулей, строение и форма которых содержит структурную информацию как о самой фрактальной структуре, так и о любом ее предфрактале. Такие модули выполнят функцию генератора G º F1 модулярной фрактальной структуры и, в частности, любого ее предфрактала n-го поколения:

Fn (F1) ≡ Fn (G),

где n - количество итераций.

Для описания модулярного строения регулярных фрактальных структур может быть использован аппарат модулярной кристаллографии [10].

2. Принцип иерархии модулей самоподобных регулярных фрактальных структур: Самоподобная регулярная фрактальная структура может быть представлена как модулярная из любых ее предфракталов [4, 11]. В частности, модулярное строение каждого предфрактала n-го поколения Fn может быть представлено модулями - предфракталами предыдущих поколений:

Fn (Fn-1 (Fn-2 (Fn-3... (F1)...))),

а сами модули классифицируются по сложности в иерархической последовательности Fn ε Fn-1 ε Fn-2 ε Fn-3 ε ... ε F1.

Сформулированные выше принципы положены в основу эволюционной модели формирования детерминистических фрактальных структур с дробной размерностью и упорядоченных в 2D пространстве множеств и мультимножеств замкнутых фрактальных кривых (см., например, [12, 13]). Отметим, что лакунарные спектры фрактальных структур и мультифракталов могут представлять интерес в связи с определением вероятных распределений по размерам микро и наночастиц, захваченных в процессе роста основной поверхностной фазы.

Список литературы

  1. Фракталы в физике / под ред. Л. Пьетронеро и Э. Тозатти. - М.: Мир, 1988. - 420 с.
  2. Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1991. - 260 с.
  3. Лорд Э.Э., Маккей А.Л., Ранганатан С. Новая геометрия для новых материалов. - М.: Физматлит, 2010. - 264 с.
  4. Whyte L.L., Wilson F.C. Wilson D. Hierahical Structures. - N.Y.: Elsevier, 1990.
  5. Sander L.M. Fractal growth // Sci. Am., 1987. - V. 256. - P. 94-100.
  6. Таланов В.М., Ерейская Г.П., Юзюк Ю.И. Введение в химию и физику наноструктур и наноструктурированных материалов. - М.: Изд-во «Академия естествознания», 2008. - 389 с.
  7. Бурбаки Н. Теория множеств. - М.: Мир, - 1965. - 455 с.
  8. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. - М.: Мир, 1976. - 400 с.
  9. Общая алгебра. В 2-х томах / под общ. ред. Л.А. Скорнякова. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - Т.1. - 592 с.; 1991. - Т.2. - 480 с.
  10. Ferraris G., Makovicky E., Merlino S. Crystallography of modular structures. - IUC Oxford Science Publications. - 2008. - 370 p.
  11. Лорд Э.Э., Маккей А.Л., Ранганатан С. Новая геометрия для новых материалов. - М.: Физматлит, 2010. - 264 с.
  12. Иванов В.В., Демьян В.В., Таланов В.М. Информация и структура в наномире: модулярный дизайн фрактальных структур в двумерном пространстве // Международный журнал экспериментального образования. - 2010. - №11. - С. 153-155.
  13. Иванов В.В., Таланов В.М., Гусаров В.В. Информация и структура в наномире: модулярный дизайн двумерных наноструктур и фрактальных решеток // Наносистемы: физика, химия, математика. - 2011. - Т.2, №3. - С. 121-134.