Проанализируем возможные варианты геометрической реализации определенного клеточного комплекса 4D-пространства в 3D-пространстве на примере симплекса. При описании топологических преобразований гиперячеек использовали следующий вид символьного представления симплекса и его возможных топологических производных: HPh – < Nv, Ne, Nf, Nph > {Nph рhi}. Данное представление гиперполиэдра содержат информацию о его наименовании (HPh), количестве вершин (v), ребер (e), граней (f), а также количестве и типе ячеек-полиэдров (рh).
Простейший клеточный комплекс 4D-пространства – симплекс – является одним из семи известных автомодулярных политопов этого пространства, т.к. состоит из пяти топологически одинаковых тетраэдрических ячеек: SТ <5,10,10,5> {T5} [1, 2]. В 3D-пространстве ему соответствует, в частности, проективное симметричное изображение в виде центрированного тетраэдра. После определенных топологических преобразований [3] этого образа симплекса возможно получение в 3D пространстве набора соответствующих геометрических образов, которые могут быть изоморфны некоторым конфигурациям определенного комплекса атомов, образующих ближний порядок в структурах кристаллов.
Геометрический образ, соответствующий тетраэдрическому симплексу SТ – центрированный тетраэдр Tc- < 4 + 1,6,4 > (I, с симметрией Td). Для получения других вероятных геометрических образов симплекса в 3D-пространстве можно воспользоваться результатами топологических преобразований его оболочки.
В результате сплиттинг-преобразования вершин и стелейшн-дизайна граней симплекса можно получить следующую цепочку центрированных конфигураций:
Симплекс SТ – <5,10,10,5> {T5} →
лавесовский тетраэдр L’Tc – <13,30,26,9> {L’T, T4, Hpyr4} →
октаэдр Oc – <7,18,20,8> {T8} →
усеченный куб tCc – <25,60,50,15> {tC, T8, Opyr6} →
куб Cc – <9,17,12,7> {C, Tpyr6}.
Им соответствуют центрированные геометрические образы
тетраэдра Лавеса L’Tc – <12 + 1, 18, 8> (II, Td),
октаэдра Oc – <6 + 1, 12, 8> (III, Oh),
усеченного куба tCc – <24 + 1, 36, 14> (IV, Oh)
и куба Cc – <8 + 1, 12, 6> (V, Oh).
В результате стретч-оупен-дизайна тетраэдрического симплекса через одну из его граней получим еще две конфигурации:
Симплекс SТ – <5,10,10,5> {T5} →
Симплекс с центрированной гранью Sfc – <4 + 1, 6 + 4, 4 + 6, 4> {T4, {3}c} →
Тригондипирамида T{3}dipyr – <3 + 2, 9, 6 + 1, 2> {T2}.
Соответствующие геометрические образы – одногранецентрированный тетраэдр Tfc – <4 + 1, 6, 4> (VI, C3v) и тригональная дипирамида T{3}dipyr – <3 + 2, 9, 6> (VII, C3h).
Преобразование производных от симплекса конфигураций в их дуальный образ за счет превращения геометрических центров ячеек в вершины, а граней – в ребра приводит к образованию только двух новых конфигураций. Им соответствуют центрированные геометрические образы дитетраэдра diTc – <4 + 4 + 1, 12, 8> (VIII, T) и объединения куба и октаэдра (C + O)c – <8 + 6 + 1, 12 + 12, 6 + 8> (IX, Oh). Здесь и ранее приведены самые симметричные конфигурации.
Описание форм оболочек ячеек-модулей, которые могут быть получены из симплекса 4D пространства, их симметрия и состав представлены в таблице.
Описания ячеек-модулей, которые могут быть получены из правильного политопа – тетраэдрического симплекса
|
Симплекс |
Форма оболочки ячейки-модуля, ее симметрия и состав |
|
Тетраэдрический ST < 5,10,10,5 > {T5} |
(I) тетраэдр Tc – < 4 + 1,6,4 > (Td) (AA4) (II) тетраэдр Лавеса L’Tc– < 12 + 1, 18, 8 > (Td) (AX12) (III) октаэдр Oc – < 6 + 1, 12, 8 > (Oh) (AX6) (IV) усеченный куб tCc – < 24 + 1, 36, 14 > (Oh) (AX24) (V) куб Cc – < 8 + 1, 12, 6 > (Oh) (AX8) (VI) одногранецентрированный тетраэдр Tfc – < 4 + 1,6,4 > (C3v) (AA3A) (VII) тригонбипирамида T{3}dipyr – < 3 + 2, 9, 6 > (C3h) (A5) (VIII) дитетраэдр diTc – < 4 + 4 + 1, 12, 8 > (T) (AX4Y4) (IX) куб + октаэдр (C + O)c – < 8 + 6 + 1, 12 + 12, 14 > (Oh) (AX8Y6) |
Полученные из тетраэдрического симплекса пять вариантов вероятных ячеек-модулей (I, III, V, VII и IX) содержат эквивалентный вершинам центральный элемент, что обуславливает нестандартность их конфигураций. Некоторые из этих ячеек-модулей (I–III, IX) являются неизолированными координационными полиэдрами, характеризующими ближний порядок в кристаллических структурах таких простых веществ как алмаз, кремний, германий, олово (серое), в отдельных подрешетках структур сложных веществ (подрешетка кремния в структурах a и b-кварца, b тридимита, b-кристобалита, подрешетка кислорода в структуре плотного льда-II), структурах интерметаллидов и сплавов со структурной разупорядоченностью атомов [4-6]. Ячейка-модуль IX является, в частности, одной из трех наиболее распространенных геометрических конфигураций, характеризующих ближний порядок с координационным числом 14 в структурах металлов и разупорядоченных твердых растворов на их основе (ОЦК структуры щелочных металлов, d-металлов V и VI групп и др.) [4, 5]. Оболочки конфигураций III–V, VIII (т.е. ячейки-модули без центрального атома) часто используются как изолированные и неизолированные полиэдры при описании особенностей кристаллохимического строения сложных соединений с преимущественно ионно-ковалентным характером связей между атомами [6].
Таким образом, на примере вероятных ячеек-модулей, которые могут быть получены из тетраэдрического симплекса, получена релевантная информация о ближнем порядке в некоторых решетках и подрешетках кристаллов. Следует отметить, что только конфигурации V и IX из девяти полученных выше (таблица) являются ячейками-модулями возможных модулярных структур (см., например, [7–12]) с учетом особенностей их формирования [13, 14].