Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,775

RECEIPT ALGORITHM OF PROBABLE MODULAR CELLS OF CRYSTAL STRUCTURES FROM SIMPLEX OF 4D SPACE

Ivanov V.V. 1 Talanov V.M. 1
1 Laboratory of novel materials design, South-Russian state Еngineering University
Receipt algorithm of probable fragments of modular cells from simplex and some other cellular complexes of the 4D space with quantity no more than sixteen cells, the description of neighbouring order atoms in crystals and possible hyper co-ordination carbon atoms in some organic compounds classes were discussed.
modular cell
cellular complex
coordination polyhedron
hyper coordinated carbon atom

Проанализируем возможные варианты геометрической реализации определенного клеточного комплекса 4D-пространства в 3D-пространстве на примере симплекса. При описании топологических преобразований гиперячеек использовали следующий вид символьного представления симплекса и его возможных топологических производных: HPh – < Nv, Ne, Nf, Nph > {Nph рhi}. Данное представление гиперполиэдра содержат информацию о его наименовании (HPh), количестве вершин (v), ребер (e), граней (f), а также количестве и типе ячеек-полиэдров (рh).

Простейший клеточный комплекс 4D-пространства – симплекс – является одним из семи известных автомодулярных политопов этого пространства, т.к. состоит из пяти топологически одинаковых тетраэдрических ячеек: SТ <5,10,10,5> {T5} [1, 2]. В 3D-пространстве ему соответствует, в частности, проективное симметричное изображение в виде центрированного тетраэдра. После определенных топологических преобразований [3] этого образа симплекса возможно получение в 3D пространстве набора соответствующих геометрических образов, которые могут быть изоморфны некоторым конфигурациям определенного комплекса атомов, образующих ближний порядок в структурах кристаллов.

Геометрический образ, соответствующий тетраэдрическому симплексу SТ – центрированный тетраэдр Tc- < 4 + 1,6,4 > (I, с симметрией Td). Для получения других вероятных геометрических образов симплекса в 3D-пространстве можно воспользоваться результатами топологических преобразований его оболочки.

В результате сплиттинг-преобразования вершин и стелейшн-дизайна граней симплекса можно получить следующую цепочку центрированных конфигураций:

Симплекс SТ – <5,10,10,5> {T5} →

лавесовский тетраэдр L’Tc – <13,30,26,9> {L’T, T4, Hpyr4} →

октаэдр Oc – <7,18,20,8> {T8} →

усеченный куб tCc – <25,60,50,15> {tC, T8, Opyr6} →

куб Cc – <9,17,12,7> {C, Tpyr6}.

Им соответствуют центрированные геометрические образы

тетраэдра Лавеса L’Tc – <12 + 1, 18, 8> (II, Td),

октаэдра Oc – <6 + 1, 12, 8> (III, Oh),

усеченного куба tCc – <24 + 1, 36, 14> (IV, Oh)

и куба Cc – <8 + 1, 12, 6> (V, Oh).

В результате стретч-оупен-дизайна тетраэдрического симплекса через одну из его граней получим еще две конфигурации:

Симплекс SТ – <5,10,10,5> {T5} →

Симплекс с центрированной гранью Sfc – <4 + 1, 6 + 4, 4 + 6, 4> {T4, {3}c} →

Тригондипирамида T{3}dipyr – <3 + 2, 9, 6 + 1, 2> {T2}.

Соответствующие геометрические образы – одногранецентрированный тетраэдр Tfc – <4 + 1, 6, 4> (VI, C3v) и тригональная дипирамида T{3}dipyr – <3 + 2, 9, 6> (VII, C3h).

Преобразование производных от симплекса конфигураций в их дуальный образ за счет превращения геометрических центров ячеек в вершины, а граней – в ребра приводит к образованию только двух новых конфигураций. Им соответствуют центрированные геометрические образы дитетраэдра diTc – <4 + 4 + 1, 12, 8> (VIII, T) и объединения куба и октаэдра (C + O)c – <8 + 6 + 1, 12 + 12, 6 + 8> (IX, Oh). Здесь и ранее приведены самые симметричные конфигурации.

Описание форм оболочек ячеек-модулей, которые могут быть получены из симплекса 4D пространства, их симметрия и состав представлены в таблице.

Описания ячеек-модулей, которые могут быть получены из правильного политопа – тетраэдрического симплекса

Симплекс

Форма оболочки ячейки-модуля, ее симметрия и состав

Тетраэдрический

ST < 5,10,10,5 > {T5}

(I) тетраэдр Tc – < 4 + 1,6,4 > (Td) (AA4)

(II) тетраэдр Лавеса L’Tc– < 12 + 1, 18, 8 > (Td) (AX12)

(III) октаэдр Oc – < 6 + 1, 12, 8 > (Oh) (AX6)

(IV) усеченный куб tCc – < 24 + 1, 36, 14 > (Oh) (AX24)

(V) куб Cc – < 8 + 1, 12, 6 > (Oh) (AX8)

(VI) одногранецентрированный тетраэдр Tfc – < 4 + 1,6,4 > (C3v) (AA3A)

(VII) тригонбипирамида T{3}dipyr – < 3 + 2, 9, 6 > (C3h) (A5)

(VIII) дитетраэдр diTc – < 4 + 4 + 1, 12, 8 > (T) (AX4Y4)

(IX) куб + октаэдр (C + O)c – < 8 + 6 + 1, 12 + 12, 14 > (Oh) (AX8Y6)

Полученные из тетраэдрического симплекса пять вариантов вероятных ячеек-модулей (I, III, V, VII и IX) содержат эквивалентный вершинам центральный элемент, что обуславливает нестандартность их конфигураций. Некоторые из этих ячеек-модулей (I–III, IX) являются неизолированными координационными полиэдрами, характеризующими ближний порядок в кристаллических структурах таких простых веществ как алмаз, кремний, германий, олово (серое), в отдельных подрешетках структур сложных веществ (подрешетка кремния в структурах a и b-кварца, b тридимита, b-кристобалита, подрешетка кислорода в структуре плотного льда-II), структурах интерметаллидов и сплавов со структурной разупорядоченностью атомов [4-6]. Ячейка-модуль IX является, в частности, одной из трех наиболее распространенных геометрических конфигураций, характеризующих ближний порядок с координационным числом 14 в структурах металлов и разупорядоченных твердых растворов на их основе (ОЦК структуры щелочных металлов, d-металлов V и VI групп и др.) [4, 5]. Оболочки конфигураций III–V, VIII (т.е. ячейки-модули без центрального атома) часто используются как изолированные и неизолированные полиэдры при описании особенностей кристаллохимического строения сложных соединений с преимущественно ионно-ковалентным характером связей между атомами [6].

Таким образом, на примере вероятных ячеек-модулей, которые могут быть получены из тетраэдрического симплекса, получена релевантная информация о ближнем порядке в некоторых решетках и подрешетках кристаллов. Следует отметить, что только конфигурации V и IX из девяти полученных выше (таблица) являются ячейками-модулями возможных модулярных структур (см., например, [7–12]) с учетом особенностей их формирования [13, 14].