Гиперкуб является одним из семи известных автомодулярных политопов 4D-пространства, т.к. состоит из восьми топологически одинаковых кубических ячеек: НС- < 16, 32, 24, 8 > {С8} [1]. Все его геометрические образы, полученные с помощью определенных топологических преобразований в 3D-пространстве, обладают дополнительными по сравнению с кубом геометрическими элементами и могут быть использованы при интерпретации нестандартных конфигураций, описывающих ближний порядок в структурах некоторых координационных соединений, особенности стереохимии некоторых молекул органических и металлорганических соединений и другие структурные аномалии. [2, 3].
Геометрический образ, соответствующий гиперкубу НС – куб внутри куба С(С)- <8 + 8, 12 + 12, 6 + 6> (с симметрией Оh). Для получения других вероятных геометрических образов из симплекса в 3D-пространстве можно воспользоваться результатами его топологических преобразований. При описании топологических преобразований гиперячеек использовали следующий вид символьного представления симплекса и его возможных топологических производных: HPh – <Nv, Ne, Nf, Nph> {Nph рhi}. Данное представление гиперполиэдра содержат информацию о его наименовании (HPh), количестве вершин (v), ребер (e), граней (f), а также количестве и типе ячеек-полиэдров (рh).
Рассмотрим топологические преобразования гиперкуба в предположении, что каждая его ячейка, прилегающая к оболочке, подчиняется правилам геометрико-топологических преобразований в 3D-пространстве. Известные топологические преобразования куба [4]: куб {444} → усеченный куб {388} → кубооктаэдр {3434} → усеченный октаэдр {466} → октаэдр {3333} в используемых здесь обозначениях могут быть представлены в виде следующей цепочки:
C – <8,12,6> {{4}6} → tC – <24,36,14> }{{3}8{8}6} →
CO – <12,24,14> {{3}8{4}6} → tO – <24,36,14> {{6}8{4}6} → O – < 6,12,8 > {{3}8}.
По аналогии, можно ввести следующие обозначения для изменяющихся оболочек гиперполиэдра: усеченный куб tC(С) – <32,68,56,16> {tC С T8 tOpyr6}, кубооктаэдр CO(С) – <20,60,64,16> {CO C T8 Tap6}, усеченный октаэдр tO(С) – <32,80,68,28> {tO C Hpyr8 T12 Hap6}, октаэдр O(С) – <14,48,54,28> {O C Tpyr6 T20}. Здесь и далее конфигурации всех ячеек гиперполиэдров и их вершинная топология представлены в фигурных { } и угловых < > скобках, соответственно. Буквенные обозначения t, p, ap, pyr приведены по первым буквам соответствующих терминов (truncated, prism, anti-prism, pyramid).
В результате сплиттинг-преобразования вершин и стелейшн-дизайн граней гиперкуба можно получить следующую цепочку центрированных конфигураций:
НС(С) – <16, 32, 24, 8> {С8} → tC(С) – <32,68,56,16> {tC С T8 tOpyr6} →
CO(С) – <20,60,64,16> {CO C T8 Tap6} →
tO(С)d1 – <32,80,68,28> {tO C Hpyr8 T12 Hap6} →
O(С) d2 – <14,48,54,28> {O C Tpyr6 T20}.
Им соответствуют центрированные кубом геометрические образы
усеченного куба tC(C)– < 4 + 8, 36 + 12, 14 + 6>,
кубооктаэдра СO(С) – <12 + 8, 24 + 12, 14 + 6>,
усеченного октаэдра tО(C) – <24 + 8, 36 + 12, 14 + 6>
и октаэдра О(C) – <6 + 8, 12 + 12, 8 + 6>.
При всех этих преобразованиях предполагается, что изолированная от оболочки симметричной проекции кубическая ячейка не подчиняется правилам геометрико-топологических преобразований в 3D-пространстве, т.е. сохраняет свою форму и ориентацию относительно преобразующихся ячеек. Символы дуальности относятся только к внешней границе гиперячейки и характеризуют ее ориентацию либо по отношению к внешней границе исходной гиперячейки (d1), либо по отношению к внутреннему изолированному домену (d2). Отметим, что при данных геометрико-топологических преобразованиях вершины гиперячейки перестают быть топологически эквивалентными и расслаиваются на две группы: постоянную группу вершин внутреннего домена и переменную группу вершин преобразующейся оболочки проекции гиперячейки.
Преобразование производных от гиперкуба конфигураций в их дуальные образы за счет превращения геометрических центров ячеек в вершины, а граней – в ребра приводит к образованию следующих трех новых конфигураций. Им соответствуют центрированные геометрические образы дитетраэдра diTc – <4 + 4 + 1, 12, 8> , объединения куба и октаэдра (C + O)2с – <8 + 6 + 1, 12 + 12, 6 + 8> и объединения куба, октаэдра и кубооктаэдра (C + O + СО)2c – <8 + 6 + 12 + 1, 12 + 12 + 24, 6 + 8 + 14> . При описании симметрии геометрических образов приведены самые симметричные конфигурации.
В результате стретч-оупен-дизайна гиперкуба через его грани получим еще несколько конфигураций: центрированную квадратом гексагональную призму Hp({4}) – <12 + 4, 22 + 16, 9 + 16, 10> {Hp, {4}, Tp7, ½I2}, октагональную призму Ор – <16, 24, 10, 1> {Ор}, триплет из тетрагональных антипризм 3Тар – <8 + 8, 12 + 8 + 12, 20 + 8, 3> {Таp3}. Соответствующие геометрические образы – центрированная тетрагоном гексагональная призма Hp{4} – <12, 22, 9>, октагональная призма Ор – <16, 24, 10>, объединение трех тетрагональных антипризм 3Тetар – <16, 32, 26>. Еще четыре геометрических образа оболочек ячеек-модулей могут быть получены путем вытягивания вершин внутреннего октаэдра на внешнюю координационную сферу: куб + усеченный куб (C + tC) <8 + 24, 12 + 36, 6 + 14>, куб + кубооктаэдр (C + CO) <8 + 12, 12 + 24, 6 + 14>, куб + усеченный октаэдр (C + tO) <8 + 24, 12 + 36, 6 + 14> и куб + октаэдр (C + O) <8 + 6, 12 + 12, 6 + 8>.
Описания форм оболочек всех вероятных симметричных форм ячеек-модулей, полученных из симметричной проекции гиперкуба, а также их символьные обозначения, симметрия и качественный состав приведены в табл. 1.
Все приведенные в таблице атомные конфигурации являются известными в кристаллохимии неорганических кристаллов [4–8]. Однако не все они являются такими модулями, с помощью которых можно без пропусков заполнить 3D-пространство [4, 5]. Большинство этих модулей по конфигурации являются преобразованными комбинациями правильных и полуправильных изогонов [8]. Симметрия этих ячеек-модулей в вырожденных модулярных структурах может быть разной [9–13].
Среди ячеек-модулей, указанных в табл. 1, имеются и дельтаэдрические ячейки. Они представлены в основном n-гонбипирамидальными полиэдрами (где n = 3 – 6, табл. 2). Оболочки дельтаэдров могут быть каркасами молекул и молекулярных комплексов различных органических и металлорганических соединений [2, 3]. Поэтому от позиционирования каркасного атома углерода в составе группы СН существенно зависит его координация.
Таблица 1
Описания оболочек ячеек-модулей, полученных из симметричной проекции гиперкуба.
|
Гиперячейка |
Форма оболочки ячеек-модулей, их симметрия и состав |
|
Гиперкуб HC <16,32,24,8> {C8} |
куб С(С) – <8 + 8, 12 + 12, 6 + 6> (Оh) (A8A8) усеченный куб tC(C) – <24 + 8, 36 + 12, 14 + 6> (Oh) (A8X24) кубооктаэдр СO(С) – <12 + 8, 24 + 12, 14 + 6> (Oh) (A8X12) усеченный октаэдр tО(C) – <24 + 8, 36 + 12, 14 + 6> (Oh) (A8X24) октаэдр О(C) – < 6 + 8, 12 + 12, 8 + 6> (Oh) (A8X6) дитетраэдр diTc – <4 + 4 + 1, 12, 8> (Тh) (AX4Y4) куб + октаэдр (C + O)2с – <8 + 6 + 1, 12 + 12, 6 + 8> (Oh) (AX8Y6) куб + октаэдр + кубооктаэдр (C + O + СО)2c – <8 + 6 + 12 + 1, 12 + 12 + 24, 6 + 8 + 14> (Oh) (AX8Y6Z12) гексагональная призма Hp{4} – <12 + 4, 22, 9> (C2v) ((A4X12)) дитетрагональная призма diTetр – <8 + 8, 12 + 12, 10> (C4V) (A0X8Y8) три тетрагональных антипризмы 3Тetар – <4 + 8 + 4, 32, 26> (D4h) (A0X8Y8) куб + усеченный куб (C + tC) <8 + 24, 12 + 36, 6 + 14> (Oh) (A0X8Y24) куб + кубооктаэдр (C + CO) <8 + 12, 12 + 24, 6 + 14> (Oh) (A0X8Y12) куб + усеченный октаэдр (C + tO) < 8 + 24, 12 + 36, 6 + 14> (Oh) (A0X8Y24) куб + октаэдр (C + O) <8 + 6, 12 + 12, 6 + 8> (Oh) (A0X8Y6) |
Таблица 2
Дельтаэдрические ячейки-модули, полученные из гиперкуба 4D пространства
|
Число вершин дельтаэдра |
Состав и символьное обозначение дельтаэдра |
Гиперкомплексы, инициирующие дельтаэдры |
Возможное координационное число каркасного атома углерода, (1 + k) |
|
6 |
AX6 (Oc) |
ST, SC, SO, HC |
5 |
|
8 |
AX6Y2 (Tapbc), AX4Y4 (diTc) AX8 (HbiPyr)c, AX6Y2 (HbiPyr)c, |
ST, SHp, HO, HC, HT |
5, 6 6, 8 |
|
14 |
A0X8Y6 (C + O), AX8Y6 (C + O)c |
HC, HO, ST, SC, SO, HC, HO |
5, 7 6, 8 |
Показана формальная возможность одновременной реализации двух разных гиперкоординаций углерода, в частности: (1 + k) = 6 и 8 для дельтаэдра (HbiPyr)c и для дельтаэдрического комплекса(C + O)c, (1 + k) = 5 и 7 для дельтаэдрического комплекса (C + O). Качественно это результат не противоречит известным экспериментально установленным данным, в частности для клозо-карборана 1,6-С2B8H10 и металлакарборана С2B7H9CoCp (дельтаэдры в форме двухшапочной квадратной антипризмы, (1 + k) = 5 и 6) [2, 3, 14]. Некоторые центрированные полиэдры также могут содержать гиперкоординированный атом углерода, занимающий центральную позицию. В частности, это реализуется в карбидокарбонильных металлических кластерах: Ru6(CO)17C, Fe5M(CO)16C (где M – Ni, Pd, Pt) и Fe4M2(CO)14C (где M – Mo, Ni) в виде центрированного октаэдра Oc, [M6(CO)15C]2- (где M – Co, Rh), и [Co2Rh4(CO)15C]2- в виде центрированной тригонпризмы Tpc, [Ni8(CO)16C]2- в виде центрированной тетрагональной антипризмы Tetapc [2].