При исследовании задачи аппроксимации в линейном банаховом пространстве произвольного объекта или некоторого класса объектов произвольной структуры на первом этапе, как правило, производится приближение элементами линейных конечномерных подпространств, которые можно называть обобщенными полиномами по некоторому базису. При этом роль мономов могут естественным образом играть те векторы банахова пространства, линейная оболочка которых и порождает соответствующее линейное подпространство [1]. Обобщенными рациональными функциями в этом случае [2] можно называть такие множества, которые порождаются линейными подпространствами некоторых обобщенных полиномов, интерпретируемыми как рациональные функции с фиксированным знаменателем, и имеющими переходы от одного фиксированного знаменателя к другому [3] при сохранении понятия степень знаменателя и естественных обобщений операций сложения дробно-полиномиальных функций.
Задача приближения линейным многообразием произвольного объекта с точки зрения существования и единственности аппроксиманта наименьшего уклонения была решена еще при рассмотрении приближения классическими степенными многочленами в пространстве непрерывных на отрезке функций с равномерной нормой [2]. Вопрос о существовании аппроксиманта наилучшего приближения и его единственности среди рациональных функций в значительной степени зависит от рассматриваемого пространства [5], в некоторых случаях равномерная норма позволяет получить заранее определенный результат [6], в некоторых – интегральная норма [7] или специальный вид аппроксимации [8], иногда гильбертова норма, которая порождается скалярным произведением, позволяет говорить о соответствующих свойствах [5] и соотношениях [9].
Изучение специальных типов аппроксимирумых объектов [10] и аппроксимирующих функций [11] в пространствах Харди [12] позволяет получать результаты, касающиеся не только налучших аппроксимантов, но и локально наилучших элементов приближения [13]. Использование указанных результатов в качестве опорных позволяет развивать соответствующие компетенции [14] при использовании метода проведения научно-практических конференций, направленных на дополнительную мотивацию студентов [15] и повышение качества трудовой жизни преподавателей вузов [16].