Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,775

DESCRIPTION AND CLASSIFICATION OF THE POINTED AND SOME DERIVATIVE FROM ITS MONOMODULAR FRACTAL STRUCTURES

Ivanov V.V. 1
1 South-Russian state engineering university
The problem of the symbolic description and classification of the pointed monomodular fractal structures in 3D space was discussed.
The problem of the symbolic description and classification of the pointed monomodular fractal structures in 3D space was discussed.

Фрактальный характер структуры в 3D-пространстве может определяться как позиционным упорядочением одинаковых структурных элементов с постоянным изменением масштаба позиционирования, так и подобием строения структурных фрагментов (локальной структуры) на разных уровнях иерархии, достигаемого путем инъективных или сюръективных отображений. Точечные фрактальные структуры – результат позиционного упорядочения простейших структурных элементов без внутренней структуры, т.е. точек, по определенным фрактальным законам. Классическими примерами подобных точечных структур в 1D-пространстве являются итерационная последовательность точек и конторово множество точек.

По аналогии с используемыми обозначениями фракталов в [1-7] для точечных фрактальных структур введем следующее символьное обозначение

F(N){dsp, dfrag, dgen +(-)},

где: F(N) – имя структуры и характеристики классификационной принадлежности, dsp, dfrag и dgen – топологические размерности пространства, в котором существует данная структура, структурного фрагмента, на котором задан генератор, и собственно генератора фрактала, соответственно. Знак + или – указывает тенденцию изменения фрактальной размерности генератора Dim GenF(N) по сравнению с его топологической размерностью dgen.

Формально возможны следующие значения топологических размерностей: dsp[1, 2, 3], dfrag[0, 1, 2], dgen[0, 1, 2]. Разные непротиворечивые сочетания этих значений для dsp, dfrag и dgen определяют разные классы фрактальных структур. Перечислим основные 12 классов точечных и некоторых производных от них мономодулярных фрактальных структур.

1D-пространство:

1) F{1,0,0+},

2) F{1,0,1-}.

2D-пространство:

3) F{2,0,0+},

4) F{2,1,1+}: sv F{2,1,1+} = F{1,0,0+},

5) F{2,0,1-},

6) F{2,1,2-}: sv F{2,1,2-} = F{1,0,1-}.

3D-пространство:

7) F{3,0,0+},

8) F{3,1,1+}: sv F{3,1,1+} = F{2,0,0+},

9) F{3,2,2+}: sv F{3,2,2+} = F{2,1,1+}, sv2 F{3,2,2+} = F{1,0,0+},

10) F{3,0,1-},

11) F{3,1,2-}: sv F{3,1,2-} = F{2,0,0+},

12) F{3,2,3-}: sv F{3,2,3-} = F{2,1,2-}, sv2 F{3,2,3-} = F{1,0,1-}.

Указанные выше непрерывные преобразования структур классов 4, 6, 8, 9, 11, и 12 типа свертки в одном (sv) или двух (sv2) ортогональных направлениях показывают генетическую связь линейчатых структур и структур из фрагментов поверхности с собственно точечными структурами. Отметим, что линейчатые структуры и структуры из фрагментов поверхности могут быть получены путем применения к ней одного (или лвух) из возможных преобразований непрерывной группы трансляций ty или tyz в направлениях, ортогональных к пространству существования анализируемой точечной структуры.

Учитывая, что при каждой свертке фрактальная размерность структуры изменяется на единицу, имеем следующие простые соотношения:

Dim F(N){dsp, dfrag, dgen} = 1 + Dim sv F(N){dsp, dfrag, dgen};

Dim F(N){dsp, dfrag, dgen} = 2+ Dim sv2 F(N){dsp, dfrag, dgen}.

Необходимо также учесть, что локальная размерность точечной фрактальной структуры определяется фрактальной размерностью ее генератора Gen F. Тогда имеем

Dim F(N){dsp, dfrag, dgen} = Dim Gen F(N){dsp, dfrag, dgen}.

Локальная фрактальная размерность структуры, генератор которой задает определенный коэффициент ее самоподобия в виде отношения K = (b/a), может быть представлена следующим образом. Обозначим

Gen F(N){dsp, dfrag, dgen} = Gen F(K).

Тогда для точечных фрактальных структур Dim Gen F(K) = ln(Da)/lnb, где D – мерность пространства, в котором существует фрактал. В частности, имеем

в 1D-пространстве – Dim Gen F(K) = lna/lnb,

в 2D-пространстве – Dim Gen F(K) = ln(2a)/lnb,

в 3D-пространстве – Dim Gen F(K) = ln(3a)/lnb.

Таким образом, предложено символьное описание точечных и некоторых производных от них мономодулярных фрактальных структур в 3D-пространстве, проведена их первичная классификация и определены основополагающие соотношения между их фрактальными размерностями.