Фрактальный характер структуры в 3D-пространстве может определяться как позиционным упорядочением одинаковых структурных элементов с постоянным изменением масштаба позиционирования, так и подобием строения структурных фрагментов (локальной структуры) на разных уровнях иерархии, достигаемого путем инъективных или сюръективных отображений. Точечные фрактальные структуры – результат позиционного упорядочения простейших структурных элементов без внутренней структуры, т.е. точек, по определенным фрактальным законам. Классическими примерами подобных точечных структур в 1D-пространстве являются итерационная последовательность точек и конторово множество точек.
По аналогии с используемыми обозначениями фракталов в [1-7] для точечных фрактальных структур введем следующее символьное обозначение
F(N){dsp, dfrag, dgen +(-)},
где: F(N) – имя структуры и характеристики классификационной принадлежности, dsp, dfrag и dgen – топологические размерности пространства, в котором существует данная структура, структурного фрагмента, на котором задан генератор, и собственно генератора фрактала, соответственно. Знак + или – указывает тенденцию изменения фрактальной размерности генератора Dim GenF(N) по сравнению с его топологической размерностью dgen.
Формально возможны следующие значения топологических размерностей: dsp[1, 2, 3], dfrag[0, 1, 2], dgen[0, 1, 2]. Разные непротиворечивые сочетания этих значений для dsp, dfrag и dgen определяют разные классы фрактальных структур. Перечислим основные 12 классов точечных и некоторых производных от них мономодулярных фрактальных структур.
1D-пространство:
1) F{1,0,0+},
2) F{1,0,1-}.
2D-пространство:
3) F{2,0,0+},
4) F{2,1,1+}: sv F{2,1,1+} = F{1,0,0+},
5) F{2,0,1-},
6) F{2,1,2-}: sv F{2,1,2-} = F{1,0,1-}.
3D-пространство:
7) F{3,0,0+},
8) F{3,1,1+}: sv F{3,1,1+} = F{2,0,0+},
9) F{3,2,2+}: sv F{3,2,2+} = F{2,1,1+}, sv2 F{3,2,2+} = F{1,0,0+},
10) F{3,0,1-},
11) F{3,1,2-}: sv F{3,1,2-} = F{2,0,0+},
12) F{3,2,3-}: sv F{3,2,3-} = F{2,1,2-}, sv2 F{3,2,3-} = F{1,0,1-}.
Указанные выше непрерывные преобразования структур классов 4, 6, 8, 9, 11, и 12 типа свертки в одном (sv) или двух (sv2) ортогональных направлениях показывают генетическую связь линейчатых структур и структур из фрагментов поверхности с собственно точечными структурами. Отметим, что линейчатые структуры и структуры из фрагментов поверхности могут быть получены путем применения к ней одного (или лвух) из возможных преобразований непрерывной группы трансляций ty или tyz в направлениях, ортогональных к пространству существования анализируемой точечной структуры.
Учитывая, что при каждой свертке фрактальная размерность структуры изменяется на единицу, имеем следующие простые соотношения:
Dim F(N){dsp, dfrag, dgen} = 1 + Dim sv F(N){dsp, dfrag, dgen};
Dim F(N){dsp, dfrag, dgen} = 2+ Dim sv2 F(N){dsp, dfrag, dgen}.
Необходимо также учесть, что локальная размерность точечной фрактальной структуры определяется фрактальной размерностью ее генератора Gen F. Тогда имеем
Dim F(N){dsp, dfrag, dgen} = Dim Gen F(N){dsp, dfrag, dgen}.
Локальная фрактальная размерность структуры, генератор которой задает определенный коэффициент ее самоподобия в виде отношения K = (b/a), может быть представлена следующим образом. Обозначим
Gen F(N){dsp, dfrag, dgen} = Gen F(K).
Тогда для точечных фрактальных структур Dim Gen F(K) = ln(Da)/lnb, где D – мерность пространства, в котором существует фрактал. В частности, имеем
в 1D-пространстве – Dim Gen F(K) = lna/lnb,
в 2D-пространстве – Dim Gen F(K) = ln(2a)/lnb,
в 3D-пространстве – Dim Gen F(K) = ln(3a)/lnb.
Таким образом, предложено символьное описание точечных и некоторых производных от них мономодулярных фрактальных структур в 3D-пространстве, проведена их первичная классификация и определены основополагающие соотношения между их фрактальными размерностями.