Scientific journal

Advances in current natural sciences

ISSN 1681-7494

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,775

Явление косого гидравлического прыжка возникает в бурном потоке, когда его струи относительно резко отклоняются на конечный угол внутрь потока [1]. Внешне косой прыжок проявляется в резком, почти скачкообразном повышении свободной поверхности. Фронт прыжка представляет собой полосу конечной ширины, но, учитывая ее относительно небольшую величину, прыжок схематически обозначается уступом (рис. 1).

Рис. 1. Сечение потока в направлении, перпендикулярном фронту прыжка

Для изучения двухмерных в плане бурных потоков можно использовать законы «масса – количество движения», так как они применимы как к неразрывным, так и к разрывным условиям течения потока, а законы «масса – энергия» применимы только к потокам с непрерывными параметрами течения.

В настоящей работе, пользуясь парой уравнений «масса – количество движения», определим основные параметры косого гидравлического прыжка и оценим падение напора в интеграле энергии.

Этими вопросами занимался Б.Т. Емцев [1, 2], который вывел следующие зависимости:

(1)

(2)

(3)

где – относительная высота прыжка; F1 – число Фруда перед прыжком; F2 – число Фруда после прыжка; b – угол, характеризующий направление фронта гидравлического прыжка; d – угол набегания потока на боковую стенку русла.

Считая известными величины , по формулам (1) – (3) необходимо определить параметры .

Б.Т. Емцев построил номограмму косых гидравлических прыжков [1], которую необходимо использовать для определения угла в уравнении (3). Однако её использование вызывает определённые неудобства, к тому же значения угла набегания на стенку в таблице ограничены значением 60°, а на практике угол растекания потока, например, за круглыми трубами может значительно превышать 60°, следовательно использовать номограмму из [1], с. 114 невозможно.

В связи с этим в настоящей работе разработан численно-аналитический метод решения уравнения (3) с применением прикладных математических пакетов Maple 9.5.

Выразив sinb через tgb, перепишем уравнение (3) в форме

(4)

Избавимся в (4) от радикалов, преобразовав его к виду:

(5)

где

Преобразуем уравнение (5) к виду, содержащему параметр F1 [3]:

(6)

Сделаем замену переменной

. (7)

После замены (7) из уравнения (6) получим

(8)

Опуская математические преобразования, приведем формулу для предельного значения критерия Фруда F1 при котором уравнение (7) имеет единственный положительный корень

. (9)

В табл. 1 приведены для сравнении расчетные значения предельного значения критерия Фруда и значения Фруда, взятые из номограмм Б.Т. Емцева .

Таблица 1

Сравнение расчетных предельных значений Фруда и по номограмме Б.Т. Емцева

Приведем уравнение (8) к стандартной форме

(10)

Запишем формулы для коэффициентов

(11)

Таким образом, при A>0 коэффициенты являются положительными, а коэффициенты могут менять знак.

Представим коэффициенты в форме

(12)

Из (12) нетрудно видеть, что

.

Рассмотрим таблицу возможных знаков в наборе коэффициентов .

Таблица 2

Проиллюстрируем применение табл. 2 на примере. Известно из номограммы Б.Т. Емцева, что при и существует единственный корень . Установим, к какому варианту относится этот случай. Найдем коэффициенты .

Этот случай соответствует пятому варианту табл. 2. Уравнение (10) в этом случае может иметь два положительных корня, может иметь один совпадающий положительный корень и может не иметь положительных корней.

Для нахождения положительных корней уравнения (8) была написана программа в среде Maple 9.5. Входными данными для определения корней являются значения Выходной параметр – угол b.

Для поиска положительных корней уравнения (8) определяем верхнюю границу этих корней [3]

(13)

Таким образом, в заданном диапазоне [0;l] с помощью программы отыскиваются корни уравнения (8). Количество корней, и их значения определяются как графически, так и аналитически.

Результаты расчетов для широкого диапазона значений угла d приведены в табл. 3.

Таблица 3

Расчетные и табличные значения угла b

bтабл – значения угла направления косого гидравлического прыжка по номограмме Б.Т. Емцева; bрасч – расчетные значения угла направления косого прыжка.

Из табл. 3 нетрудно видеть, что значения bтабл и bрасч практически совпадают при , однако предложенная программа позволяет рассчитывать значение b и при что важно для практики.

Далее, определив значение угла b, находим значение параметра h из (1), а затем и параметры потока после прыжка

(14)

Определим значения гидродинамического напора до удара струи потока о боковую стенку русла и после удара:

(15)

Определим относительные потери энергии при набегании струи потока на боковую стенку

Результаты расчетов приводим в табл. 4.

Таблица 4

Выводы

1. В работе предложен метод численного определения направления фронта косого гидравлического прыжка и потери напора для элементарных струй в точке набегания потока на боковую стенку.

2. Такой подход и является обоснованием выбора законов «масса – количество движения» для описания явления косого гидравлического прыжка.

3. Угол набегания крайней линии тока на боковую стенку в предложенной модели может изменяться в диапазоне что соответствует эксперименту.