Постановка задачи при нестационарных волновых сейсмических воздействиях
Рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY, которому в начальный момент времени t = 0 сообщается механическое нестационарное импульсное воздействие.
Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях.
Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид
(1)
где σx, σy, τxy – компоненты тензора упругих напряжений; εx, εy и γxy – компоненты тензора упругих деформаций; u и v – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; ρ – плотность материала;
– скорость продольной упругой волны; 
– скорость поперечной упругой волны; ν – коэффициент Пуассона; E – модуль упругости; 
– граничный контур тела Г.
Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.
Разработка методики и алгоритма
Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями (1) используем метод конечных элементов. В работах [2, 4] приведена информация о постановке волновых задах теории упругости. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов.
Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений.
Чтобы выполнить динамический расчет методом конечных элементов, нужно иметь матрицу жесткости и матрицу инерции конечного элемента.
Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости
(2)
где 
– диагональная матрица инерции; 
– матрица жесткости; 
– вектор узловых упругих перемещений; 
– вектор узловых упругих скоростей перемещений; 
– вектор узловых упругих ускорений; 
– вектор внешних узловых упругих сил.
Соотношение (2) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями.
Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями (1) привели к линейной задаче Коши (2).
Для интегрирования уравнения (2) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду
(3)
Интегрируя по временной координате соотношение (3) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему
(4)
Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях получены с помощью принципа возможных перемещений и конечноэлементного варианта метода Галеркина.
Общая теория численных уравнений математической физики требует для этого наложение определенных условий на отношение шагов по временной координате Δt и по пространственным координатам, а именно
(5)
где Δl – длина стороны конечного элемента.
Устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы в перемещениях исследуем с помощью численного эксперимента. Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы.
Достоверность рассматриваемого численного метода приведена в следующих работах [2, 6, 8-10].
Определение нестационарных волновых напряжений в плотине Койна
Рассматривается задача о воздействии плоской продольной упругой волны на плотину Койна с основанием (рис. 1). В работах [1, 3, 5, 7] приведена информация о численном моделировании нестационарных волн напряжений в плотинах. Начальные условия приняты нулевыми.
В сечении на расстоянии 1,5H (рис. 1) (H = 103 м) при 0≤n≤25 (n = t/Δt) скорости упругих перемещений 
и 
изменяются линейно от 0 до 
и 
, а при n > 25
и 
(σ0 = 0,1 МПа (1 кгс/см2)).
Контур плотины IJKABCDEF (кроме точки Е) предполагается свободным от нагрузок при t > 0. Граничные условия для контура FGHI при t > 0 
Отраженные волны от контура FGHI не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 900.
Исследуемая расчетная область имеет 522 узловые точки. Расчеты проведены при следующих исходных данных: H = 103 м; Δ t = 0,104·10-2 c; E = 0,36·104 MПа (0,36·105 кгс/см2); ν = 0,36; ρ = 0,122·104 кг/м3 (0,122·10-5 кгс с2/см4); Сρ = 1841 м/с.
На рис. 2-7 показано изменение контурных напряжений 
в плотине Койна в точках 1-6 во времени t/Δt.
На рис. 8 показано изменение контурных напряжений в точках 3 и 6 на контуре плотины Койна во времени t/Δt.
Рис. 1. Постановка задачи для системы сооружение-основание (плотина Койна)
Рис. 2. Изменение упругого контурного напряжения 
в точке 1 на контуре плотины Койна
во времени t/Δt
Рис. 3. Изменение упругого контурного напряжения 
в точке 2 на контуре плотины Койна
во времени t/Δt
Рис. 4. Изменение упругого контурного напряжения 
в точке 3 на контуре плотины Койна
во времени t/Δt
Рис. 5. Изменение упругого контурного напряжения 
в точке 4 на контуре плотины Койна
во времени t/Δt
Рис. 6. Изменение упругого контурного напряжения 
в точке 5 на контуре плотины Койна
во времени t/Δt
Рис. 7. Изменение упругого контурного напряжения 
в точке 6 на контуре плотины Койна
во времени t/Δt
Рис. 8. Изменение упругого контурного напряжения 
в точках 3 и 6 на контуре плотины Койна
во времени t/Δt
Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы:
1. Максимальное растягивающее напряжение возникает в верхней части задней области контура плотины.
2. Упругое контурное напряжение на гранях плотины является почти зеркальным отражением одна другой, то есть антисимметричным.
3. Выполненное исследование показало, что результаты численных исследований соответствуют характеру разрушений, наблюдаемых в плотине Койна после землетрясения.