Введение
Успехи современного естествознания требуют дальнейшего развития теории дифференциальных уравнений в частных производных, что приводит к необходимости исследования локальных и нелокальных задач для нагруженных уравнений различных типов. В последние годы появилось значительное число публикаций, проблемно ориентированных на нагруженные уравнения [4, 7, 10], где исследовались локальные и нелокальные краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных уравнений в частных производных гиперболического, параболического, эллиптического и смешанного типов. Следует отметить такие применения нагруженных уравнений, как метод математического моделирования нелокальных, в том числе фрактальных, процессов и явлений, и метод эффективного поиска решений дифференциальных уравнений. Математической основой физики фракталов, в особенности дробной динамики, стали нагруженные дифференциальные уравнения, демонстрирующие роль этих уравнений в различных отраслях современной науки. Актуальность исследования краевых задач для нагруженных уравнений можно обосновать как внутренними потребностями теоретического обобщения результатов, так и прикладным значениям.
Цель исследования: доказать однозначную разрешимость внутреннекраевой задачи для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.
Постановка задачи. В области 
рассмотрим уравнение
. (1)
Задача А. Найти регулярное в области D решение уравнения (1), из класса 
с непрерывной вплоть до x=1 производной первого порядка по x, удовлетворяющее условиям:
), 
(2)
), 
), 
(3)
), 
(4)
где τ(y), φ1(y), φ2(y), α1(y), α2(y), β1(y), β2(y), δ(y) – заданные функции, непрерывные в замыкании области их определения, x0 – фиксированная точка интервала 0 < x < 1 причем β2(y) ≠ 0.
Задача А относится к классу нелокальных задач, исследованием которых занимались многие авторы [1 – 6, 8].
Доказательство существования и единственности решения. Рассмотрим случай, когда 
то есть уравнение
(5)
Пусть существует решение 
задачи (2)-(4),
), 
(6)
для уравнения (5).
Функция Грина задачи (2),(3),(6) для уравнения
(7)
задается формулой [6, 8]:
)
где 
фундаментальные решения уравнения (7), которые имеют вид:
где
функция Бесселя, функция 
и 
– функции Эйри и удовлетворяют уравнению [9]:
Основные свойства функций 
и 
, их оценки вместе с частными производными порядка 
приведены в [6, 8].
Из свойств функции Грина заключаем, что решение 
в области D представимо в виде
где
Найдем значение 
. Для этого положим 
в последнем равенстве.
Получим:
(8)
Обозначим 
), тогда (8) перепишется в виде:
(9)
где
(10)
).
Равенство (9) есть интегральное уравнение Вольтера второго рода, которое однозначно разрешимо.
Решение интегральное уравнения (9) можно выписать через резольвенту 
ядра 
:
(11)
Таким образом, решение задачи (1),(2),(3), и 
имеет вид
(12)
Удовлетворим краевому условию (4). Для этого из (12) найдем 
Имеем
(13)
Подставим (13) в краевое условие (4). В результате получим равенство:
(14)
Преобразовав (14) с учетом (10), получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно функции 
(15)
где
По условию 
то есть (15) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода, которое безусловно и однозначно разрешимо в классе 
). Обращая его через резольвенту ядра 
) получим значение φ(y) то есть 
).
Таким образом, решение задачи (2)-(4) и (6), существует, единственно и определяется по формуле (12).
В случае, когда 
опираясь на
свойства функции Грина для задачи (7), (2)-(3)
и 
) имеем (15)
Интегрируя внутренний интеграл в первом слагаемом по частям, получим:
(16)
Равенство (16) перепишем в виде (17)
)
где
Обращая (17) через резольвенту 
ядра 
будем иметь
или
(18)
После преобразования (18), получим
) (19)
где 
и 
выражаются через интегралы от 
и 
. Полагая в (18) 
и считая пока правую часть ее известной, получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно 
)
которое имеет только одно решение.
Найденное значение 
подставим в равенство (19). Удовлетворяя его граничному условию (4), снова получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно 
, которое однозначно разрешимо.