Постановка задачи при нестационарных волновых воздействиях
В настоящее время обеспечение безопасности уникальных объектов является приоритетной задачей фундаментальной и прикладной науки. В работах приведена информация о постановке и численной реализации нестационарных волновых задач механики деформируемого твердого тела [1–10]. Для решения задачи о моделировании упругих волн в деформируемых областях сложной формы рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат 
, которому в начальный момент времени 
сообщается механическое воздействие. Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях.
Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид
(1)
где σх, σy и τxy – компоненты тензора упругих напряжений; εx, εy , γxy – компоненты тензора упругих деформаций; u и v – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; ρ – плотность материала; 
– скорость продольной упругой волны; 
– скорость поперечной упругой волны; v – коэффициент Пуассона; E – модуль упругости; 
– граничный контур тела Г.
Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.
В работах [1–2, 8] приведена информация о моделировании нестационарных волн напряжений в деформируемых объектах при взрывных воздействиях.
Разработка методики и алгоритма
Для решения двумерной нестационарной динамической задачи математической теории упругости с начальными и граничными условиями (1) используем метод конечных элементов в перемещениях.
Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости
, (2)
где 
– диагональная матрица инерции; 
– матрица жесткости; 
– вектор узловых упругих перемещений; 
– вектор узловых упругих скоростей перемещений; 
– вектор узловых упругих ускорений; 
– вектор внешних узловых упругих сил.
Интегрируя уравнение (2) конечноэлементным вариантом метода Галеркина, получим явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек
(3)
Шаг по временной переменной координате Δt выбирается из следующего соотношения
, (4)
где Δl – длина стороны конечного элемента.
На основе метода конечных элементов в перемещениях разработана методика, разработан алгоритм и составлен комплекс программ для решения двумерных линейных и нелинейных задач при различных начальных и граничных условиях, для областей сложной формы. Комплексы программ написаны на алгоритмическом языке Фортран-90.
В работах приведена информация о достоверности численного моделирования нестационарных волн напряжений в областях различной формы [5, 9–10].
Решение задачи о воздействии взрывной волны в объекте хранения опасных веществ
Рассмотрим задачу о воздействии нестационарной взрывной волны (рис. 2) в объекте хранения опасных веществ (рис. 1).
По нормали к контуру FGHI приложено нормальное напряжение σn, которое при 0≤n≤10 (n = t/Δt) изменяется линейно от 0 до P, а при 10≤n≤20 от P до 0 (P = σ0). На контуре GF приложено нормальное напряжение σy (σy = σ0, σ0 = 0,1 МПа (1 кгс/см2)). На контуре HI приложено нормальное напряжение σy (σy = σ0, σ0 = - 0,1 МПа (- 1 кгс/см2)). На контуре FI приложено нормальное напряжение σx (σx = σ0, σ0 = 0,1 МПа (1 кгс/см2)). На контуре GH приложено нормальное напряжение σx (σx = σ0, σ0 = - 0,1 МПа (- 1 кгс/см2)). Граничные условия для контура JKLA при 
. Отраженные волны от контура JKLA не доходят до исследуемых точек при 0≤n≤200. Контур ABCDEJ свободен от нагрузок.
Расчеты проведены при следующих исходных данных: H = Δx = Δy; Δt = 1,393×10-6 c; E = 3,15×104 МПа (3,15×105 кгс/см2); v = 0,2; ρ = 0,255×104 кг/м3 (0,255×10-5 кгс с2/см4); Cp = 3587 м/с; Сs = 2269 м/с. Исследуемая расчетная область имеет 14250 узловых точек. Решается система уравнений из 57000 неизвестных.
На рис. 4–6 показано изменение упругого контурного напряжения 
(
) во времени n в точках 
(рис. 3), находящихся на свободной поверхности упругой полуплоскости.
Растягивающее упругое контурное напряжение 
от точки A1 до точки A10 изменяется от значения 
= 0,2 до значения 
= 0,326. Сжимающее упругое контурное напряжение 
от точки A1 до точки A10 изменяется от значения 
= - 0,191 до значения 
= - 0,259.
Рис. 1. Постановка задачи о воздействии упругой взрывной волны в объекте хранения опасных веществ
Рис. 2. Воздействие типа дельта функции для задачи
Рис. 3. Точки, в которых получены напряжения
Рис. 4. Изменение упругого контурного напряжения ̅σk во времени t/Δt в точке A1
Рис. 5. Изменение упругого контурного напряжения ̅σk во времени t/Δt в точке A2
Рис. 6. Изменение упругого контурного напряжения ̅σk во времени t/Δt в точке A3
Растягивающее упругое нормальное напряжение ̅σх ( ̅σх = σх / |σ0| ) от точки B1 до точки B10 изменяется от значения ̅σх =0,22 до значения ̅σх =0,301. Сжимающее упругое напряжение ̅σх от точки B1 до точки B10 изменяется от значения ̅σх = - 0,178 до значения ̅σх = - 0,204.
Растягивающее упругое нормальное напряжение ̅σy ( ̅σy = σy / |σ0| ) от точки B1 до точки B10 изменяется от значения ̅σy = 0,414 до значения ̅σy = 0,522. Сжимающее упругое напряжение ̅σy от точки B1 до точки B10 изменяется от значения ̅σy = - 0,174 до значения ̅σy = - 0,233.
Растягивающее упругое касательное напряжение ̅τxy (̅τxy = ̅τxy / |σ0|) от точки B1 до точки B10 изменяется от значения ̅τxy = 0,071 до значения ̅τxy = 0,073. Сжимающее упругое касательное напряжение ̅τxy от точки B1 до точки B10 изменяется от значения ̅τxy = - 0,073 до значения ̅τxy = - 0,114.
Выводы
1. Для прогноза безопасности объекта хранения опасных веществ при взрывных воздействиях применяется численное моделирование.
2. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны методика, алгоритм и комплекс программ для решения линейных двумерных плоских задач, которые позволяют решать сложные задачи при взрывных воздействиях на сооружения.
3. За основные неизвестные приняты два перемещения и две скорости перемещений в узле конечного элемента.
4. Задачи решаются с методом сквозного счета, без выделения разрывов.
5. Линейная динамическая задача с начальными и граничными условиями приведена к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями, которая решается по явной двухслойной схеме.
6. Решена задача о воздействии взрывной волны в объекте хранения опасных веществ.
7. Получены напряжения в точках на поверхности упругой полуплоскости около объекта хранения опасных веществ.