Введение

Возможности формирования структурированного пространства путем разбиения его на модулярные ячейки и моделирования невырожденных модулярных структур проанализированы в [1-3]. Получены вероятные представления гиперполиэдров в 3D пространстве и модулярные ячейки структур из политопов 4D пространства [4]. Проанализированы гомологические соотношения и топологические преобразования модулярных гиперячеек [5]. Дана общая характеристика возможных гибридных фрактальных структур и сформулированы принципы их формирования [6-8], приведены примеры [9-15].

Проведена классификация возможных структурных состояний детерминистических модулярных структур с кристаллической, фрактальной и наноразмерной компонентами в 2D и 3D пространствах и сформулированы принципы их формирования [16-21]. Получены и определены размерные характеристики возможных многокомпонентных структурных состояний системы [22-27]. Установлено вероятное влияние условного размерного параметра на чувствительные к особенностям структурной организации свойства систем [28, 29]. Проанализируем возможные зависимости для описания влияния размерности объекта на его удельные характеристики, в частности, на некоторое обобщенное аддитивное свойство.

Влияние размерности объекта на его удельные характеристики

В данной работе будем считать, что характер влияния для i-го структурного состояния определяется зависимостью типа S_i(d/D_i). В этом случае на свойство SD влияет отношение мерности пространства d и условного размерного параметра D:

ln(S_D/S_d) = K_D (d/D) и lnS_D/lnS_d = K_D (d/D),

где K_D – коэффициент пропорциональности, зависящий от величины отклонения условного размерного параметра состояния от мерности пространства, в котором определена структура R.

Условный размерный параметр D для многокомпонентного структурного состояния может быть рассчитан следующим образом:

D = d_r D(r) + d_f D(f) + d_n D(n),

где d_r, d_f и d_n – количества соответствующих компонент одного сорта, для кристаллической компоненты D(r) = 1, для фрактальной компоненты D(f) = DimR_f = Dim (GenR_f), для наноразмерной компоненты D(n) = (<n>/n_o) < 1, если средний размер нанообъекта <n> < n_o = 100 нм и D(n) = 1, если <n> ≥ n_o.

Проанализируем вероятное влияние мерности d пространства, в котором определено структурное состояние комплексного объекта с определенной размерностью, на величину его аддитивного свойства.

Допустим, что геометрия структурированного 4D пространства определяется следующим образом:

.

Над морфизмами стоят показатели степени – соответствующие операторы перехода к большей мерности пространства. Тогда матрица, столбцы которой представляют варианты обозначений «объемов» пространственных ячеек соответствующих подпространств 4D пространства:

подразумевает наличие связей вида S = L², L = S^1/2; V = L³ = S^3/2, L = V^1/3; H = L⁴ = S² = V^4/3, L = H^1/4 и т.д.

Будем рассматривать некоторое аддитивное свойство m и соответствующий ему натуральный логарифм этого свойства ln m для комплексного объекта в пространствах с разной степенью однородности.

В зависимости от мерности подпространств взаимосвязи между соответствующими логарифмами подсвойств объекта определим следующим образом:

,

где над морфизмами стоят коэффициенты перехода для свойств объекта в пространство с более высокой мерностью.

Соответствующая матрица возможных взаимосвязей между логарифмами подсвойств свойства m:

Тогда матрица соотношений между логарифмами свойств объекта в подпространствах с близкой мерностью выглядит следующим образом:

или, в общем случае

ln(m_d+1)/ln(m_d) = (d+1)K_d+1/dK_d

откуда имеем

md = m_d+1 ^{dKd /(d+1)Kd+1}

Тогда одновременное влияние мерности пространства d и размерности объекта D на некоторое его аддитивное свойство S с учетом равенства S_d = m_d может быть представлено следующим образом:

SD, d = m_d+1 ^{[dKd /(d+1)Kd+1] [KD(d/D)]}.

Если аналогичным образом рассмотреть соответствующую матрицу возможных взаимосвязей между логарифмами отношений подсвойств свойства m в подпространствах с близкой мерностью, тогда в общем случае

ln(m_d+1/m_d) = (d+1)K_d+1/dKd

откуда имеем

m_d+1 = m_d exp((d+1)K_d+1/dK_d) или

m_d = m_d+1 exp(dK_d/(d+1)K_d+1).

В этом случае одновременное влияние мерности пространства d и размерности объекта D на некоторое его аддитивное свойство S может быть представлено следующим образом:

S_{D, d} = m_d+1 exp(dK_d/(d+1)K_d+1) exp(KD(d/D)).

Таким образом, одновременное влияние мерности пространства d и размерности объекта D на некоторое его аддитивное свойство S может быть представлено как степенной, так и экспоненциальной зависимостями.

Выводы

Получены возможные зависимости аддитивного свойства некоторого комплексного объекта от его размерного параметра D и мерности d неоднородного пространства, в котором реализуется его структурное состояние, включающее кроме кристаллической также наноразмерную и фрактальную компоненты. Отметим, что возможное влияние размерных параметров состояния поверхности, обусловленных кристаллическими фазами, наночастицами или квазифрактальными конфигурациями межфазных границ, на трибологические свойства поверхности композиционных материалов и покрытий на основе систем Ni-P и Ni-B были использованы в [30–40].