Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

ANALYTICAL DEPENDENCE OF THE EFFECTIVE ATOMIC NUMBER OF THE ELEMENT COMPOSITION OF MATTER AND RADIATION ENERGY IN THE RANGE OF 40–140 KEV

Eritenko A.N. 1 Tsvetyanskiy A.L. 1 Polev A.A. 1
1 Southern Federal University
For practical purposes it is necessary to be able to simply and easily evaluate the effective atomic number to use the complex composition of matter to predict the behavior of the substance, a change in its characteristics under irradiation by photons of different energies. In this paper, a ratio that describes the dependence of nuclear material numbers with strongly varying composition of the primary energy of electromagnetic radiation. It is shown that the use of traditional methods of calculating the effective medium rooms, in some cases, can lead to significant differences, due to different methodological approaches in the calculations. The results of calculations comparing the effective atomic number of the medium with the use of this relation from the experimental data of some authors and theoretical, suggest the good of their agreement. The proposed analytical dependence of the effective atomic number of the composition of matter and radiation energy allows to consider the case of strong differences between the elemental composition of the atomic number, to simplify the calculation and it will be useful in technical and scientific areas related to the interaction of X-ray and gamma-radiation with matter.
X-ray and gamma radiation attenuation coefficient
the effective ato

Результаты изучения взаимодействия рентгеновского и гамма-излучения с веществом находят широкое применение во многих областях техники, медицины, радиационной защиты, создании биологических сенсоров. С этой целью необходимо уметь оценивать эффективный атомный номер сложного по составу вещества, чтобы прогнозировать изменение его характеристик под воздействием облучения фотонами различной энергии.

Целью настоящей работы является получение аналитической зависимости эффективного атомного номера от состава вещества и энергии излучения для широкого диапазона изменения энергии излучения и состава мишени.

Теория. Основные формулы

Массовый коэффициент ослабления излучения многоэлементной мишенью можно записать в виде

er01.wmf, (1)

где эффективный атомный вес

er02.wmf, (2)

а атомный коэффициент ослабления

er03.wmf, (3)

где er04.wmf – атомная, весовая концентрация, атомный вес, полный атомный коэффициент ослабления (поперечное сечение) элемента с номером i. NA – число Авогадро.

В диапазоне энергий Е < 1 МэВ основными процессами взаимодействия рентгеновского и гамма-излучения с атомами вещества являются: фотоэлектронное поглощение, когерентное и некогерентное рассеяние, которые зависят от атомного номера элемента как ~ Z4, ~ Z2, ~ Z соответственно [1, 2]. На рис. 1 показана зависимость отношения коэффициента когерентного рассеяния к полному коэффициенту атомного ослабления по данным XCOM [4].

eritenko1.wmf

Рис. 1. Зависимость доли когерентного рассеяния в полном атомном сечении ослабления от энергии для элементов с Z = 6, 13, 30, 50

Как видно, с увеличением энергии вклад когерентного рассеяния достигает максимального значения и затем уменьшается. Поэтому целесообразно учитывать только фотоэлектрическое поглощение и некогерентное рассеяние и рассматривать энергии излучения больше энергии краёв поглощения атомов элементов, составляющих пробу. Тогда полный атомный коэффициент ослабления излучения в веществе с атомным номером Z можно представить в виде

er05.wmf, (4)

полагая, что вклад в ослабление излучения когерентным рассеянием частично или полностью будет учтен подбором коэффициентов а(E) и b(E) в формуле (4), где E – энергия излучения.

Для нахождения зависимости (4) достаточно оценить два коэффициента а и b. Это можно сделать по двум значениям er06.wmf найденным экспериментально либо взятым, например, из XCOM [4]. В данной работе использовался последний способ. На рис. 2 приведены графики зависимости атомных коэффициентов ослабления от атомного номера Z, рассчитанные по формуле (4) с использованием коэффициентов а и b, найденных по двум значениям er07.wmf (в качестве опорных элементов использовались Z = 13, 50), взятым из XCOM. Расчеты проведены для энергий излучения в диапазоне 40–140 кэВ.

eritenko2.wmf

Рис. 2. Зависимость полного атомного коэффициента ослабления от атомного номера Z: 1, 2, 3, 4 соответственно для энергий 40,32; 59,54; 94,52; 136,55 кэВ. Сплошные линии – расчет по формуле (4) с коэффициентами из табл. 1, точки – данные XCOM [4]. σа в барн/атом

В табл. 1 приведены значения а и b, найденные для различных энергий излучения, и относительная среднеквадратичная ошибка аппроксимации Sотн. зависимостью (4) табличных данных полных атомных сечений XCOM.

Таблица 1

Значения коэффициентов а(E), b(E), B(E) и точность аппроксимации Sотн. для 1 ≤ Z ≤ 56

E, кэВ

α

b*104

B*10-4

Sотн , %

40,32

0,6199

5,9452

0,10427

8,4

59,54

0,5139

2,0726

0,24793

4,1

94,52

0,4837

0,5745

0,84197

1,6

136,55

0,4509

0,2042

2,20799

1,2

Из результатов табл. 1 и графиков рис. 2 следует вывод о хорошем согласии расчетов по формуле (4) с данными XCOM в широком диапазоне энергий и атомных номеров 1 < Z < 56–60.

Введем обозначения

er08.wmf,

er09.wmf,

тогда далее, из (4), можно получить

er10.wmf. (5)

Воспользуемся следующей оценкой:

er11.wmf. (6)

Величина в скобках правой части должна быть меньше нуля. В этом случае

er12.wmf, (7)

т.е. Z – решение уравнения (4) – должно находиться в интервале

er13.wmf, (8)

Упростим выражение (8), тогда приближенное аналитическое решение уравнения (4) будет

er14.wmf (9)

На рис. 3 и 4 показаны графики зависимости отклонения er15.wmf от Z, где в качестве Zr использовалось Z0 (график 1) и er16.wmf (график 4).

График под номером 2 соответствует расчету Zr по формуле (9), а 3 – расчету по формуле er21.wmf. Z – значение атомного номера элемента, которому соответствует величина полного атомного коэффициента ослабления в формуле (4). В табл. 2 приведены значения абсолютных и относительных среднеквадратических отклонений, максимальное абсолютное отклонение по модулю er22.wmf и значение Zi, при котором наблюдается это отклонение. В табл. 2 указаны также значения Zсшивки, при котором согласовывались er23.wmf для графиков 2 и 3. Из табл. 2 следует, что комбинация двух зависимостей 2 и 3 обеспечивает абсолютное расхождение результатов, не превышающее единицы во всем диапазоне Z = 1 – 56(60) при энергиях 40–140 кэВ.

Таблица 2

Характеристики точности вычисления атомного номера Zr по формуле er24.wmf для Z < Zсшивки и по формуле (12) для Z > Zсшивки для энергий в диапазоне 40–140 кэВ

E, кэВ

Sабс

er25.wmfZ|; Z

Sотн, %

Zсшии

Диапазон Z

40,32

0,09

0,33;5

1,63

3

56

59,54

0,14

0,45;7

1,81

5

1–60

94,52

0,26

0,67;11

2,28

6

1–56

136,55

0,43

0,92;15

2,69

9

1–60

eritenko3.wmf

Рис. 3. Ошибка решения уравнения (4) для Е = 59,54 кэВ, где Zr:1 – Z0; 2 – по формуле (9); 3 – er17.wmf; 4 – по формуле er18.wmf

eritenko4.wmf

Рис. 4. Ошибка решения уравнения (4) для Е = 136,55 кэВ, где Zr: 1 – Z0; 2 – по формуле (9); 3 – er19.wmf; 4 – по формуле er20.wmf

Для многоэлементных образцов

er26.wmf, (10)

а полный усредненный атомный коэффициент ослабления определяется по формулам (1–3)

er27.wmf. (11)

Тогда эффективный атомный номер сложной пробы для данной энергии E можно оценить следующим образом

er28.wmf, er29.wmf. (12)

В Z0 (формула(12)) величина σа,с рассчитывается по формуле (11) с использованием табличных значений массового коэффициента ослабления или экспериментальных данных.

Формула (4) для многоэлементной пробы может быть записана в виде

er30.wmf. (13)

Тогда величины Z0 и Zэф приобретают следующий вид

er31.wmf, (14)

er32.wmf. (15)

Учитывая, что величина B зависит от энергии излучения, то формулы (14, 15) описывают зависимость Zэф в явном виде, как от состава пробы, так и от энергии излучения. В = B(E) – единственный параметр, который зависит от энергии используемого излучения. Значения параметра B(E) в рассматриваемом диапазоне энергий приведены в табл. 1. Величины b(E), B(E) можно аппроксимировать зависимостями вида αEβ.

В табл. 3 приведены граничные значения Zε, при которых с точностью ε можно пренебречь фотоэлектрическим поглощением в (4) и вычислять атомный коэффициент ослабления по формуле er34.wmf. Окончательно, для Zэф можно записать

er35.wmf. (16)

Значение Z0 (16) можно вычислять по формуле (12) или по формуле (14).

Таблица 3

Значения ε, Zε, и er36.wmf (барн/атом)

кэВ

ε, %

σ(Zε)

er37.wmf*

40,32

1

2,2

1,4

1,29

5

3,7

2,3

25

59,54

1

2,9

1,5

1,60

5

5,0

2,6

2,85

94,52

1

4,4

2,1

2,24

5

7,5

3,6

3,91

136,55

1

6,0

2,7

2,76

5

10,3

4,7

 

Примечание. * – получены линейной интерполяцией табличных значений XCOM для Z = Zε.

Результаты исследования и их обсуждение

В табл. 4, 5 сравниваются значения эффективных атомных номеров, рассчитанных по экспериментальным значениям полных атомных и массовых коэффициентов ослабления [3, 5] и теоретическим XCOM [4], используя полученные формулы (12) и (14, 15).

Таблица 4

Значения эффективных атомных номеров, полученных по экспериментальным данным работы [5] и рассчитанных по формулам (12, 14, 15) для энергии 59,54 кэВ (σа,с в единицах барн/атом)

Состав, wz, %

er38.wmf

er39.wmf

er40.wmf (12)

er41.wmf (12)

er42.wmf (14, 15)

Al-Fe(46,87)

42,9

43,7

19,97

20,1

19,71

Al-Cu(07,55)

17,93

17,8

15,04

15

14,94

Al-Zr(06,88)

24,71

24,8

16,79

16,8

16,65

Al-Mo(09,87)

33

31,1

18,42

14

18,27

Al-Pd(10,08)

39,17

38,6

19,42

19,3

19,33

Al-Cd(09,64)

40,73

38,8

19,66

19,4

19,6

Al-In(23,71)

95,3

96,7

25,13

25,2

25,09

Al-Sn(07,84)

37,42

36,6

19,15

19

19,15

Fe-Cu(08,48)

118,34

127,1

26,67

27,2

26,28

Fe-Zr(07,72)

136,66

136,4

27,73

27,7

27,34

Fe-Mo(11,04)

153,16

156,6

28,6

28,8

28,22

Fe-Pd(11,27)

167,75

170,7

29,3

29,4

28,97

Fe-Cd(10,79)

172,1

172,7

29,51

29,5

29,21

Fe-In (26,05)

276,89

291,1

33,46

33,9

33,26

Fe-Sn (08,80)

166,41

171,1

29,24

29,5

28,97

Примечание. * – экспериментальная ошибка для er43.wmf в интервале 3–8 %.

Таблица 5

Значения эффективных атомных номеров, полученных по экспериментальным** данным работы [3] и рассчитанным по формулам (12, 14, 15), для энергий в диапазоне 57–136 кэВ (σа,с в единицах барн/атом)

Состав

Энергия, кэВ

er44.wmf

er45.wmf

er46.wmf (12)

er47.wmf (12)

er48.wmf (14, 15)

CuO

57,5

96,47

125,5

26,5

24,65

24,2

77,1

46,25

50,9

24,9

24,2

24

94,6

29,07

31,7

24,5

23,77

23,8

136

15,2

15,2

23

23,01

23,28

Y2O3

57,5

234,53

241,3

31,6

31,35

30,81

77,1

107,15

128,9

32,6

30,94

30,6

94,6

63,69

65,2

30,7

30,52

30,35

136

27,72

30

30,2

29,36

29,59

BaCO3

57,5

437,9

470

37,6

36,9

37,23

77,1

202,56

198,6

36,6

36,82

36,99

94,6

119,31

127,8

37,3

36,59

36,68

136

47,85

42,6

34,1

343

35,62

Примечание. ** – ошибка экспериментальных данных оценивается в 8–10 % [5].

В формуле (12) использовалось полное атомное сечение, а в (14–15) сечение вычислялось по известным составам образцов. Экспериментальные массовые коэффициенты ослабления [3, 5] пересчитывались в атомные по формуле (11). В работе [3] экспериментально были получены массовые коэффициенты ослабления для прессованных образцов окислов CuO, Y2O3, а также BaCO3 высокой чистоты, их смесей и спеченных образцов, в диапазоне энергий 57–136 кэВ. В табл. 5 приведены полученные результаты для соединений.

Можно сделать вывод, что результаты, полученные по формулам (12), (14–15), хорошо согласуются между собой как с использованием экспериментальных, так и теоретических данных для разнообразных многоэлементных образцов в диапазоне энергий 57–136 кэВ. Сопоставление рассчитанных значений Zэф по предложенным формулам и прямой линейной интерполяцией по данным XCOM [4], используя полные атомные сечения, позволяет сделать вывод о хорошем их согласии.

Выводы

Полученная аналитическая зависимость для Zэф справедлива в широком диапазоне энергий, элементного состава вещества и обеспечивает согласие Zэф в пределах экспериментальных погрешностей при различных способах приготовления исследуемых образцов. Аналитическая зависимость эффективного атомного номера не только от состава вещества, но и от энергии позволит существенно упростить его вычисление и будет полезна в областях науки и техники, связанных с взаимодействием рентгеновского и гамма-излучения с веществом.