Как понимают отрицательные числа математики? «Невозможность» вычитания большего числа из меньшего обуславливается тем, что натуральный ряд чисел бесконечен в одну сторону (см. рис.1). Если последовательно вычесть 1, начиная, скажем, из числа 7, мы получим числа 6, 5, 4, 3, 2, 1, дальнейшее вычитание дает уже «отсутствие числа», а дальше уже не из чего вычитать. Если же мы хотим сделать вычитание всегда возможным, мы должны: 1) «отсутствие числа» считать также число (нуль); 2) от этого последнего числа считать возможным отнять еще единицу и т.д. Так мы получим новые числа, обозначаемые в настоящее время так -1, -2, -3 и т.д. Эти числа называются целыми отрицательными числами. Стоящий впереди знак «минус» напоминает о происхождении отрицательного числа из последовательного вычитания единицы. [1]
Рис. 1
Как вводится понятие абсолютной величины? Абсолютным значением величины называются ее значения, взятое с положительным знаком; условно обозначается посредством заключения величины в прямые скобки. Например, -3, по абсолютной величине | -3 | = 3. Что такое -3 непонятно? Еще Декарт называл отрицательные числа «ложными числами».
Вот если взять ускорение а = -3 м/с2, то абсолютное значение будет равно
| а | = 3 м / с2 .
Нам понятно, что ускорение это вектор, а вектор всегда положительный, а это значит, что вектора равны по модулю и противоположны по направлению.
а = - а (1)
знак минус указывает на противоположность направлений (см. рис. 2). Нужно заметить, что векторное равенство (1) уже записано по абсолютной величине остается только подставить прямые скобки.
Рис. 2
Если взять два вектора х и у равных по модулю и противоположных по направлению получим ось координат, которая не нуждается в отрицательных числах, знак минус указывает на противоположность направлений (см. рис. 3) .
Из происхождения отрицательных чисел, т.е вычитание от нуля единицы, можно сделать вывод, что единица является масштабом для создания отрицательных чисел.
Если (-1) и (1) обозначить через i (см. рис. 3), то произведение модулей двух векторов будет равно
, (2)
В этом и состоит основное свойство числа i, которое используется в комплексных числах.2
Рассмотрим неполное приведённое квадратное уравнение вида
х2 + 4 = 0, (3)
откуда
х2 = - 4. (4)
Рис. 3
Квадрат числа уравнения (4) - число отрицательное, нет числа, квадрат, которого равен - 4. Ответ: корней нет, решения нет. Такой вывод делают математики.
Рассмотрим наш вариант решения уравнения (4).
Уравнение (4) можно представить так:
х2 = 
. (5)
Учитывая уравнение (2), получим х2 = 
, откуда х2 =±
или х2 =±
, тогда получим корни х1 = 2; х2 = - 2.
Оба корня удовлетворяют решению уравнения (3). Проверим это утверждение теоремой Виета.
Сумма корней приведённого квадратного уравнения х2 + p х + q = 0 равна коэффициенту при неизвестном в первой степени, взятом с обратным знаком, т.е.
х1. + х2 = - p;
произведение же корней равно свободному члену, т.е.
х1 . х2 = q
Мы получим корни х1 = 2; х2 = - 2 , тогда p = 0, а q = - 4.
Составим уравнение по корням, получим х2 + 4 = 0 , что и требовалось доказать, смотри уравнение (3).
Резюме:
1. Математический смысл заключается в двух уравнениях
х2 - 1 = 0 (6)
и
х2 + 1 = 0. (7)
Из уравнения (6) будем иметь х2 = 1 или х12 = 
, откуда х1 = х2 = 1, т.е. получается равенство по модулю.
Из уравнения (7) следует х2 = -1 или х12 = 
, или х1,2 =
, откуда х1 = 1; а х2 = - 1, т.е. получается векторное равенство.
2. Физический смысл отрицательных чисел заключается в том, что их просто не существует, а существуют вектора, равные по модулю и противоположные по направлению (см. рис. 2)
. (8)
Преамбула данной статьи такова: у меня было 3 яблока, а у математика - 3. По абсолютной величине |-3|=3, т.е. у нас с математиком по 3 яблока. Я съел свои 3 яблока, а математик свои, по абсолютной величине. Если бы всех математиков кормили по абсолютной величине, они бы давно все вымерли.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
- Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М.: Наука, Главная редакция Физико-математической литературы, 1979 г. с.149, с.151.