Научный журнал

Успехи современного естествознания

ISSN 1681-7494

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,775

• Авторы
• Файлы

Ващенко Г.В.

Статья в формате PDF

505 KB

Предложен параллельный алгоритм переменного шага на основе (2,1)-метода. В предлагаемом параллельном алгоритме изменение величины шага построено на основе контроля точности численной схемы.

В настоящее время одним из основных параметром, характеризующих эффективность использования вычислительной техники в науке и технологии, являются математические модели и численные методы, применяемые при создании программ для реализации исследований и расчетов по этим моделям. Моделирование процессов во многие важных приложениях приводит к необходимости численного решения задачи Коши для умеренно жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений [1, 2].

Рассматривается задача Коши для автономной системы обыкновенных дифференциаль ных уравнений первого порядка

 (1)

где y:[t₀, t_k] → R^N, f:[t₀, t_k]×R^N → R^N, [t₀, t_k] - отрезок интегрирования. Для численного решения (1) применим схему (2,1)-метода

 (2)

где коэффициенты a, p₁ и p₂ определяют свойства точности и устойчивости схемы (2), h - шаг интегрирования, f_n′ = ∂f(y_n)/∂y - матрица Якоби системы (1). Будем считать, что (1) имеет единственное решение. Пусть известны условия для контроля точности вычислений, именно p₁ + p₂ = 1 и ap₁ + 2ap₂ = 0,5, . Изменение величины шага основано на оценке локальной ошибки δ_n. Учитывая соотношение, , новый шаг h_new определяем по формуле h_new = qh, где значение q находится из уравнения q²||δ_n|| = ε. Если q < 1, то осуществляем повторное вычисление решения с шагом h = h_new. При q > 1 выполняем следующий шаг интегрирования с шагом h_new. Введем функции Par_LU_Decompos(), Par_LU_Solution(), реализующие декомпозицию матрицы Dn и нахождение векторов , . Для контроля точности численной схемы (2) введем функцию accur_control (), для выполнения которой назначим процессор proc(1). Параллельный алгоритм вычисления приближенного решения y⁽ⁿ⁺¹⁾ переменного шага формулируем следующим образом.

Алгоритм. Пусть для численного решения системы (1) используется (2.1)-метод с контролем точности, и известно решение y⁽ⁿ⁾ в точке t_n с шагом h_n. Тогда для получения значения y⁽ⁿ⁺¹⁾ в точке t_n+1 справедлив параллельный алгоритм, в котором на каждом процессоре proc(j) формируется своя j-я часть вектора решения.

Шаг 1. В каждом proc(j), 1 ≤ j ≤ p; (j-1) s + 1 ≤ s_j ≤ j⋅s: выполнить recv(, h; 1,..., p), вычислить  и матрицу Якоби J_j, 1 ≤ j ≤ p.

Шаг 2. Сформировать матрицу .

Шаг 3. Разложить матрицу D_n, D_n = Par_LU_Decompos().

Шаг 4. Вычислить ,

.

Шаг 5. Вычислить ,

Шаг 6. В каждом proc(j), 1 ≤ j ≤ p;

(j-1)⋅s +1 ≤ sj ≤ j⋅s:

определить

,

и выполнить .

Шаг 7. В proc(1): выполнить accur_control () и, если необходимо, вывести вектор y^(n+1).

Шаг 8. В каждом proc(j), 1 ≤ j » p;

(j-1)⋅s +1 ≤ sj ≤ j⋅s:

вычислить

и выполнить .

Шаг 9. Выполнить следующий шаг интегрирования.

Как показывают теоретические и практические расчеты, выполняемые на кластере ИВМ СО РАН [3] показывают, что основные вычислительные затраты связаны с реализацией
LU-факторизации и последующем решении систем для определения шаговых коэффициентов.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ проект №11-01-00106.

Список литературы

1. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. - Новосибирск: Наука, 1997.
2. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. - М.: Мир, 1999.
3. Исаев С.В., Малышев А.В., Шайдуров В.В. Развитие Красноярского центра параллельных вычислений // Вычислительные технологии. - 2006. - №11. - С. 28-33.

Библиографическая ссылка