Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,823

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ИДЕАЛЬНОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ

Тарасов А.Е. Сметанин Б.И.

В работе рассматриваются вынужденные колебания круговой цилиндрической оболочки конечных размеров в идеальной сжимаемой жидкости. Для решения полученной системы интегрального и дифференциального уравнений применен метод разложения решения в ряд по собственным формам колебаний оболочки в вакууме и метод ортогональных многочленов. Проведено численное исследование полученных результатов.

Задачи гидроупругости представляют большой теоретический и практический интерес. При исследовании этих задач появляется возможность выявить взаимное влияние жидкости и контактирующей с ней упругой конструкции. В [1] даны постановки и методы решения широкого круга задач гидроупругости, приведен список литературы, отражающий положение дел в рассматриваемой области.

Пусть упругая круговая цилиндрическая оболочка длины 2a, радиуса R помещена в идеальную сжимаемую жидкость, занимающую безграничный объем. Ось Oz цилиндрической системы координат r, θ, z направим вдоль оси оболочки. При исследовании взаимодействия оболочки с жидкостью будем исходить из уравнения технической теории оболочек [2]:

f (1)

Здесь E - модуль Юнга, ν - коэффициент Пуассона, h - толщина оболочки, w = w(z,t) - радиальное перемещение точек срединной поверхности оболочки,
ρ0 - плотность оболочки, p = p(r, z, t) - гидродинамическое давление.

Жесткость оболочки при изгибе D связана с параметрами E, ν, и h формулой:

f (2)

Перемещения, направленные к оси оболочки, считаются положительными. На торцах оболочки считаем заданными радиальные перемещения и углы поворота. Граничные условия имеют вид:

f (3)

где С1, С2 = const

Движение жидкости предполагается потенциальным. Потенциал скоростей точек жидкости φ = φ(r,z,t) удовлетворяет волновому уравнению

f (4)

Здесь с - скорость звука в жидкости.

Гидродинамическое давление p в предположении малости вносимых оболочкой возмущений связано с функцией φ интегралом Коши, который в линеаризованной форме имеет вид

f (5)

где ρ - плотность жидкости, p∞ - давление на бесконечности.

f (6)

Условие безотрывного обтекания оболочки имеет вид:

Будем предполагать справедливым следующее представление функций

f (7)

Получили систему двух уравнений в безразмерном виде:

f (8)

Где

f

а S - число Струхала

f

В уравнении (8) и далее знаки «штрих», «волна» и «звездочка» опущены.

В соответствии с условием излучения Зоммерфельда необходимо, чтобы решение содержало волны, уходящие на бесконечность и не содержало волны, приходящие из бесконечности. Для отбора такого решения контур Г был выбран следующим образом:

pic 

Выбор контура Г

Отсюда, однозначные ветви, соответствующие обходу точек ветвления, взяты в виде:

f. (9)

Учитывая, линейность полученных уравнений, функцию w будем искать в виде функционального ряда:

f (10)

где ψn(z) выражаются формулой

f (11)

а ξn определяется из уравнения

f (12)

Отметим, что

f (13)

В силу линейности задачи γ тоже представим в функционального ряда:

f (14)

Представления (10) и (14) позволяют разделить систему уравнений (8) и рассматривать каждое из них отдельно. Преобразуем интегральное уравнение и рассмотрим его относительно γn при известных правых частях.

f (15)

Приравняем слагаемые при Xn

f (16)

Главную часть ядра интегрального уравнения (16) можно получить, учитывая обобщенное значение интеграла

f (17)

Тогда решение интегрального уравнения (16) целесообразно строить в виде:

f (18)

Применение процедуры метода ортогональных многочленов к уравнению (16), сводит это уравнение к СЛАУ относительно Хn

f (19)

Подставим найденные Хn в f

Непосредственные вычисления были проведены с использованием метода редукции.

При этом для получения решения с достаточной для практического использования точностью при 2 ≤ λ < ∞ можно ограничится решением урезанных систем состоящих из шести уравнений. В табл. 1 приведены значения функции |w* (z)| на частоте ω = 10 для случая несжимаемой жидкости (S = 0), соответствующие М = 3, 4, 5, 6, где М - порядок урезанной системы (19).

1. Значения функции |w* (z)| при α = 1000, β = 30, λ = 2, ω = 10, S = 0 

z

M

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

3

1,97357

1,26168

0,34574

1,61614

1,62038

0,99999

4

2,15145

1,34339

0,42596

1,73302

1,66494

0,99999

5

2,15479

1,34371

0,42815

1,73327

1,66484

0,99999

6

2,15485

1,34369

0,42817

1,73325

1,66484

0,99999


В табл. 2 приведены значения функции |w*(z)| на частоте ω = 10 при для случая сжимаемой жидкости (S = 1), соответствующие М = 3, 4, 5, 6, где М - порядок урезанной системы (19).

2. Значения функции |w*(z)| при α = 1000, β = 30, λ = 2, ω = 10, S = 1 

Z

M

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

3

3,80923

2,38121

0,77378

3,03780

2,52649

0,99999

4

4,23417

2,58308

0,95095

3,30801

2,63233

0,99999

5

4,24139

2,58387

0,95555

3,30859

2,63214

0,99999

6

4,24152

2,58382

0,95561

3,30854

2,63216

0,99999


На основании проведенных вычислений для различных значений приведенной частоты ω можно сделать выводы, что в рассмотренном диапазоне изменения параметров метод редукции сходится достаточно хорошо, с увеличением частоты увеличивается количество максимумов функции W по длине оболочки.

Список литературы

  1. Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н. Аэрогидроупругость конструкций. - М.: Физматлит, 2000. - 592 с.
  2. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. - М.: Физматгиз, 1963. - 636 с.

Библиографическая ссылка

Тарасов А.Е., Сметанин Б.И. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ИДЕАЛЬНОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ // Успехи современного естествознания. – 2011. – № 7. – С. 278-279;
URL: http://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=27351 (дата обращения: 27.11.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074