Научный журнал

Успехи современного естествознания

ISSN 1681-7494

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,775

• Авторы
• Файлы

Ульченков М.А.

Статья в формате PDF

834 KB

Движение голономной системы, состоящей из n точек с a связями вида  описывается системой уравнений

 (1)

из которых определяются ускорения , реакции связей  и множители Лагранжа la при заданных mv и . Уравнения (1) называются уравнениями Лагранжа первого рода [1].

Пример 1.

Материальная точка движется под действием силы тяжести по гладкой горизонтальной плоскости (рис. 1).

Рис. 1. Материальная точка движется по идеально гладкой горизонтальной плоскости под действием силы тяжести

Система имеет две степени свободы. Активная сила, действующая на точку, сила тяжести , сила реакции связи . Уравнения Лагранжа I рода в данном случае имеют вид:

, ,

где f = z = 0 - уравнение связи и . Из последнего уравнения следует, что λ = G, , , точка движется по инерции.

Пример 2.

Материальная точка, движется по поверхности сферы под действием силы тяжести. Сфера идеально гладкая, точка сферу не покидает (рис. 2).

Рис. 2. Материальная точка движется под действием силы тяжести по идеально гладкой поверхности сферы

Система имеет две степени свободы. Уравнение связи f = x² + y² + z² - R² = 0. На точку действует активная сила - сила тяжести  и сила реакции связи . Уравнения Лагранжа I рода имеют следующий вид:

, , .

К полученным уравнениям присоединим условие, которому удовлетворяют возможные ускорения точки:

В последнее равенство подставим значения  и получим:

откуда

и, следовательно

.

Тогда искомые уравнения имеют вид:

где V² = x² + y² + z².

Пример 3.

Материальная точка массой m движется по поверхности цилиндра радиуса R, уравнение которого в декартовых координатах x² + y² = R² (рис. 3). Силы, действующие на точку, уравновешены. Определить траекторию точки и реакцию поверхности, если в начальный момент времени точка занимала положение A(R; 0; 0) и имела начальную скорость

.

Уравнение связи f = x² + y² - R² = 0. Уравнения Лагранжа I рода в данном случае имеют вид:

 или ;

 или ;

 или ,

так как F_z = 0, .

Рис. 3. Материальная точка массой движется
по идеально гладкой поверхности цилиндра

Проинтегрируем третье из равенств: , z = V_0zt. Из первых двух уравнений исключим множитель l, поделив первое равенство на второе:

, или ,

откуда, интегрируя, находим

.

Перейдем к полярным координатам в плоскости xOy: x = Rcosφ, y = Rsinφ или , ,
тогда

,

откуда .

Из последнего равенства следует, что φ = ωt и уравнения движения в конечном виде принимают вид:

x = Rcosωt, y = Rsinωt, z = V_0zt.

Последние уравнения определяют винтовую линию. Принимая во внимание  и учитывая первое равенство, определяем силы реакции:

Модуль силы реакции -

.

Направляющие косинусы

,

,

а сила реакции  направлена перпендикулярно оси Oz.

Список литературы

1. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. - М.: Наука, 1983. - 640 с.

Библиографическая ссылка