Геометрическим генератором фрактальных решеток может быть фрагмент двумерных дважды периодических полигонных R{Pg}im-структур, в частности, тетрагонных R{4}im-структур, соответствующих двумерной сетке Кеплера 4444 или ее производным. Предполагается, что в вершинах тетрагона могут располагаться атомы, комплексные частицы, или определенные локальные совокупности атомов одного или нескольких сортов - молекулы, кластеры.
Процедура формирования генератора G из квадратного фрагмента тетрагонной R{4}im-структуры определяется законом транскрипции Tik:
G = LN{4}, i, k (N{4}I, Tik),
а процедура получения самоподобных фрактальных решеточных n-структур (предфракталов) - итерационным законом Tn:
FN{4}ik = G(Tn) = LN{4}, i, k (N{4}I, Tik, Tn),
где N - количество тетрагонов {4} в квадратном фрагменте пространства со стороной b; I - характеристика «ядра» двумерной тетрагонной структуры, которая определяла способ его ветвления (посредством вершин iv или сторон ir тетрагона); k = b-1 - коэффициент самоподобия генерируемой фрактальной FN{4}ik-структуры; n - целочисленный индекс, характеризующий количество применяемых итераций, где n = 1 соответствует генератору [4, 5].
Фрактальная (хаусдорфова) размерность D решетки в соответствии с [1] может быть определена из соотношения
D = lnN (lnb)-1,
где N - число тетрагонов в генераторе, b - сторона генератора (в относительных единицах). Тогда, если (b2 - N) - число лакун в квадратном генераторе, то D = ln(b2 - N) (lnb)-1 - лакунарная размерность фрактальной решетки, характеризующая возможное дополнение данной фрактальной решетки до 2D тетрагонной R{4}im-структуры. Это дополнение может образоваться в процессе формирования основной фрактальной FN{4}ik-структуры за счет «захвата» структурных элементов с определенным набором (спектром) размерных характеристик и в этом случае также, по-видимому, будет обладать фрактальными свойствами.
В таблице приведены основные характеристики представителей двух групп фрактальных FN{4},i,k-структур (при N равном 5 и 20).
Очевидно, в частности, что F5{4},i,k-структуры основаны на разных фрагментах тетрагонных R{4}im-структур, отличаются информационными кодами генераторов и их симметрией, однако по остальным характеристикам, в том числе и фрактальным размерностям, не идентифицируются. При этом также очевидно, что это существенно разные F5{4},i,k-структуры. В определенной степени такой же вывод можно сделать и относительно F20{4},i,k-структур.
Характеристики некоторых фрактальных FN{4}, i, k-структур, основанных на фрагментах тетрагонных R{4}im-структур
Характеристики генератора G = LN{4}, i, k |
Размерность фрактальной структуры |
|||||
Информационный код |
Форма |
Симметрия, G20 |
N |
b2‒N |
Локальная, DBL = D |
Лакунарная, DG |
L5{4},4(r),1/3 |
|
4 mm |
5 |
4 |
1,465 |
1,262 |
L5{4},3(r),1/3 |
|
m |
5 |
4 |
1,465 |
1,262 |
L5{4},2(r),1/3
|
|
|||||
L5{4},4(v),1/3 |
|
4 mm |
5 |
4 |
1,465 |
1,262 |
L5{4},2(v),1/3 |
|
m |
5 |
4 |
1,465 |
1,262 |
L5{4},1(v),1/3 |
|
|||||
L20{4},4(r),1/6 |
|
4 mm |
20 |
16 |
1,465 |
1,262 |
L20{4},4(v),1/6 |
|
|||||
L20{4},4(r),1/6 |
|
4 mm |
20 |
12 |
1,548 |
1,431 |
L20{4},4(v),1/6 |
|
52 |
1,114 |
1,770 |
Различными являются и дополнения этих структур. Это становится очевидным после сравнительного анализа их лакунарных спектров на диаграммах вида
,
где Nln - число лакун l-й группы с определенным относительным диаметром для предфрактала n-го поколения,
и в общем случае определяется из относительной площади лакун [4, 5].
Все F5{4},I,k-структуры отличаются по своим лакунарным спектральным характеристикам, которые в определенном смысле можно считать диагностическими. На диаграммах вида (N/b2) - D значения фрактальных размерностей анализируемых F-структур и известной структуры F8{4},3®,1/3, представляющей собой классический квадратный ковер Серпинского со значением k = 1/3 [3], находятся на одной прямой [4]. Необходимо отметить, что эта прямая занимает промежуточное положение между двумя другими прямыми, которые аппроксимируют два множества значений для соответствующих n-x членов гомологических рядов ковров Серпинского: F(6+2n){4}, I, 1/(3(2+n))1/2-структур и F(4+4n){4}, I, 1/(2+n)-структур (n = 1, 2, 3,...) [2, 3].
Полученные с помощью итерационного модулярного дизайна на тригонной сетке детерминистические фрактальные решетки с FN{3}, i, k-структурами также соотносятся с гомологической серией фрактальных структур вида F(6+2n){3}, I, 1/(3(2+n))1/2 и F(3+3n){3}, I, 1/(2+n) и классической треугольной косынкой Серпинского F3{3},3(r),1/3 [2, 3].
В заключение отметим, что многообразие формально возможных детерминистических фрактальных решеток, полученных методом итерационного модулярного дизайна, определяется многовариантностью разбиения двумерного пространства (образами для которого могут служить сетки Кеплера и их производные) и многовариантностью выбранных в качестве генератора фрагментов соответствующих двумерных однослойных и двухслойных полигонных структур. Данному многообразию детерминистических фрактальных решеток изоморфно многообразие наборов их геометрико-топологических характеристик, в том числе лакунарных спектров. Последние могут быть использованы как аппроксиманты для интерпретации особенностей статистических распределений микро и наночастиц определенных фаз в поверхностных слоях гетерофазных материалов.
Список литературы
-
Лорд Э.Э., Маккей А.Л., Ранганатан С. Новая геометрия для новых материалов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 264 с.
-
Фракталы в физике / под ред. Л. Пьетронеро и Э. Тозатти. - М.: Мир, 1988. - 420 с.
-
Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1991. - 260 с.
-
Иванов В.В., Демьян В.В., Таланов В.М. Информация и структура в наномире: модулярный дизайн фрактальных структур в двумерном пространстве // Международный журнал экспериментального образования. - 2010. - №11. - С. 153-155.
- Иванов В.В., Таланов В.М., Гусаров В.В. Информация и структура в наномире: модулярный дизайн двумерных наноструктур и фрактальных решеток // Наносистемы: Физика, Химия, Математика. - 2011. - Т. 2, №3. - С. 121-134.
Библиографическая ссылка
Иванов В.В., Демьян В.В., Таланов В.М. ЭВОЛЮЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ И АНАЛИЗ ДЕТЕРМИНИСТИЧЕСКИХ ФРАКТАЛЬНЫХ РЕШЕТОК // Успехи современного естествознания. – 2012. – № 4. – С. 230-232;URL: https://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=30019 (дата обращения: 10.12.2024).