В работе [1] предложено условие пластичности
| s1 − s3 |n + | s2 − s3 |n + | s3 − s1 |n= 2k n, (1)
где s1, s2, s3 – собственные значения девиатора напряжений s. При n = 1 и n→∞ это условие переходит в условие пластичности Треска, а в случае n = 2 получаем условие Мизеса.
Покажем, что при n = 2m условие (1) можно выразить через главные инварианты девиатора напряжений J2 и J3.
Теорема. Справедлива формула
2(s1 − s2 )2m + (s1− s3)2m + (s2− s3)2m
Доказательство. Используя биномиальное разложение и группируя слагаемые специальным образом, приходим к равенству
Отсюда с учетом соотношения
нетрудно вывести требуемую формулу.
С помощью теоремы Гамильтона-Кэли получаем рекуррентную формулу
Поэтому, принимая во внимание tr (s2) = 2J2, tr (s3) = 3J3, мы можем выразить tr (si), i = 1,2,…, через инварианты J2 и J3. Таким образом, доказанная теорема позволяет записать условие пластичности (1) через главные инварианты девиатора напряжений, что важно при решении пространственных задач математической теории пластичности.
Схожие вопросы рассматривались в [2-5].
Библиографическая ссылка
Артемов М. А., Барановский Е. С. АЛЬТЕРНАТИВНАЯ ФОРМА ЗАПИСИ УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ // Успехи современного естествознания. – 2014. – № 12-3. – С. 292-292;URL: https://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=34595 (дата обращения: 19.04.2024).