Введение
Современные компьютеры дали в руки исследователей эффективное средство для математического моделирования сложных задач науки и техники. Поэтому количественные методы исследования в настоящее время проникли практически во все сферы человеческой деятельности.
Реализация математических моделей на компьютере осуществляется с помощью методов вычислительной математики, которая непрерывно совершенствуется вместе с прогрессом в области информационно-коммуникационных технологии[1],[2]. Рассмотрим уравнение Лапласса
(1)
Будем искать его решение, непрерывное в прямоугольнике и
принимающее на границе Г заданные значения:
(2)
Задача, определяемая уравнением (1) и условием (2), называется задачей Дирихле (первой краевой задачей).
Постановка задачи.Для численного решения задачи (1), (2) введем в 
сетку
и обозначим через
сеточную функцию, заданную на 
и 
– шаги сетки по координатам 
и 
.
Чтобы написать разностную схему для (1), (2), аппроксимируем каждую из производных 
на трехточечном шаблоне, полагая
знак ~ означает аппроксимацию. Пользуясь этими выражениями, заменим (1) разностным уравнением
(3)
или, в сокращенной записи,
В безындексных обозначениях имеем
(4)
К этому уравнению надо присоединить краевые условия
(5)
Граница
сетки состоит из всех узлов 
, кроме вершин прямоугольника (0, 0) 
, которые не используются. Разностное уравнение (3) записано на пятиточечном шаблоне
Схему (4) часто называют схемой крест. Если 
т.е. сетки по 
и 
совпадают, то сетку 
называют квадратной. На такой сетке разностную схему (4) можно записать в виде
Для однородного уравнения 
получаем
т.е. значение в центре шаблона определяется как среднее арифметическое значений в остальных узлах шаблона[3],[4],[5].
Пусть 
– решение задачи Дирихле (1), (2), а 
– решение разностной задачи (4), (5). Рассмотрим погрешность
), 
Подставляя 
в (4), (5), получаем для погрешности 
неоднородное уравнение
),
) (6)
с однородным краевым условием
при 
(7)
здесь
(8)
есть невязка или погрешность аппроксимации для схемы (4) на решении 
уравнения (1).
Покажем, что
(9)
где
В самом деле, учитывая формулы
находим
Отсюда и из (1) следует (9).
Таким образом, схема (4) имеет второй порядок аппроксимации.
Рассмотрим на примере следующую задачу:
Найти непрерывную функцию и(х, у), удовлетворяющую внутри прямоугольной
области Ω = {( 
уравнению Лапласа
и принимающую на границе области W заданные значения, т. е.
,
,
,
,
Для ее решение составлена программа вычисление алгоритма метода сеток. Полученный численный расчет проанализированны и поведение решение показано на рисунке.
Поведение решение
Заключение
Понятие аппроксимации, устойчивости и сходимости создали необходимую базу широкого поиска эффективных разностных схем для решения задач математической физики. Алгоритмы решения задач с помощью конечно-разностных методов, представляют собой сочетание методов построения разностных аналогов задач и методов их решения. Поэтому прогресс в теории конечно-разностных методов обязан взаимосогласованному развитию этих направлении исследовании.
Библиографическая ссылка
Жунусова Л.Х., Тойганбаева Н.А. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА СЕТОК ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА // Успехи современного естествознания. – 2015. – № 1-1. – С. 76-79;URL: https://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=34781 (дата обращения: 23.04.2024).