Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ И ДОСТОВЕРНОСТИ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ОБ ОТРАЖЕНИИ И ИНТЕРФЕРЕНЦИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УПРУГИХ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ

Мусаев В.К. 1
1 МЭСИ
Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями применяется метод конечных элементов в перемещениях. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны: методика; алгоритм; комплекс программ. При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык Фортран-90. Исследуемая область разбивается по пространственным переменным на треугольные и прямоугольные конечные элементы первого порядка. По временной переменной исследуемая область разбивается на линейные конечные элементы с двумя узловыми точками. Рассмотрены следующие задачи. Отражение упругих волн напряжений в виде дельта функции от свободной поверхности. Отражение упругих волн напряжений в виде функции Хевисайда от свободной поверхности. Отражение упругих волн напряжений в виде дельта функции от жесткой поверхности. Отражение упругих волн напряжений в виде функции Хевисайда от жесткой поверхности. Интерференция плоских продольных упругих волн напряжений в виде дельта функции. Интерференция плоских продольных упругих волн напряжений в виде функции Хевисайда.
математическое моделирование
задача с начальными и граничными условиями
задача Коши
численный метод
алгоритм
комплекс программ
конечные элементы первого порядка
явная двухслойная схема
отражение от свободной поверхности
отражение от жесткой поверхности
интерференция
нестационарные волны напряжений
дельта функция
функция Хевисайда
фундаментальное воздействие
1. Мусаев В.К. Метод конечных элементов в задаче об отражении плоских продольных волн напряжений в виде дельта функции от свободной поверхности // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия проблемы комплексной безопасности. – 2008. – № 1. – С. 43–51.
2. Мусаев В.К. Оценка достоверности и точности результатов вычислительного эксперимента при решении задач нестационарной волновой теории упругости // Научный журнал проблем комплексной безопасности. – 2009. – № 1. – С. 55–80.
3. Мусаев В.К. О достоверности результатов математического моделирования нестационарных волн напряжений в объектах сложной формы // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. – 2014. – № 3. – С. 71–76.
4. Мусаев В.К. О достоверности компьютерного моделирования нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых телах сложной формы // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 11. – С. 10–14.
5. Мусаев В.К. Математическое моделирование напряженного состояния технических объектов с помощью волновой теории сейсмической безопасности // Проблемы безопасности российского общества. – 2014. – № 3–4. – С. 206–218.
6. Мусаев В.К. Моделирование нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых областях с помощью метода конечных элементов в перемещениях // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 12 (1). – С. 28–32.
7. Мусаев В.К. Моделирование упругих напряжений в защитной оболочке реакторного отделения атомной станции с фундаментом и основанием (полуплоскость) при нестационарном ударном воздействии // Успехи современного естествознания. – 2014, № 12 (часть 5). – С. 587–592.
8. Мусаев В.К. Математическое моделирование поверхностных волн напряжений в задаче Лэмба при воздействии в виде дельта функции // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015, № 2 (часть 1). – С. 25–30.
9. Мусаев В.К. Численное моделирование вертикального сосредоточенного упругого импульсного воздействия в виде дельта функции на границе воздушной и твердой среды с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к пятнадцати) // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015, № 2 (часть 2). – С. 220–223.
10. Мусаев В.К. Численное решение задачи о распространении нестационарных упругих волн напряжений в подкрепленном круглом отверстии // Современные наукоемкие технологии. – 2015, № 2. – С. 93–97.

О некоторых проблемах достоверности результатов численного моделирования нестационарных упругих волн напряжений

В настоящее время активно применяются численные методы для решения различных задач нестационарной механики деформируемого твердого тела. Однако при решении сложных задач возникают проблемы оценки достоверности полученных результатов. На основании изложенного можно утверждать, что оценка точности и достоверности результатов численного моделирования волн напряжений в областях сложной формы является актуальной фундаментальной и прикладной научной задачей.

Некоторая информация о физической достоверности и математической точности моделирования волн напряжений в деформируемых областях с помощью разработанного численного метода, алгоритма и комплекса программ приведена в следующих работах [1–4, 10].

О постановке задачи и реализация численного метода, алгоритма и комплекса программ

Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями – используем метод конечных элементов в перемещениях. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать сложные задачи при нестационарных динамических воздействиях на сложные системы. При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык Фортран-90. Исследуемая область разбивается по пространственным переменным на треугольные и прямоугольные конечные элементы первого порядка. По временной переменной исследуемая область разбивается на линейные конечные элементы первого порядка.

Некоторые вопросы в области постановки, разработки методики, алгоритма, комплекса программ и результатах решенных нестационарных динамических задач рассмотрены в следующих работах [1–10].

О моделировании нестационарных упругих волн в пластинке

1. Рассмотрим задачу об отражении упругих волн напряжений в виде дельта функции от свободной поверхности. На границе пластинки AB (рис. 1) приложено нормальное напряжение σy, которое при 0 ≤ n ≤ 10 (n = t/∆t) изменяется линейно от 0 до P, а при n ≥ 10 от P до 0 (P = σ0, σ0 = – 0,1 МПа).

mus1.tif

Рис. 1. Постановка задачи об отражении волн напряжений

Граничные условия для контуров ВС и АВ при t > 0 mus01.wmf. Контур CD свободен от нагрузок. Отраженные волны от контуров ВС и АD не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 190. Исследуемая расчетная область имеет 4221 узловую точку и 4000 конечных элементов. Решается система уравнений из 16884 неизвестных. Для примера на рис. 2 представлено изменение нормального напряжения mus02.wmf во времени n в точке B1.

2. Рассмотрим задачу об отражении упругих волн напряжений в виде функции Хевисайда от свободной поверхности.

mysaev2.tif

Рис. 2. Изменение упругого нормального напряжения mus03.wmf во времени n в точке B1 в задаче об отражении упругих волн напряжений в виде дельта функции от свободной поверхности

На границе пластинки AB (рис. 1) приложено нормальное напряжение σy, которое при 0 ≤ n ≤ 10 (n = t/∆t) изменяется линейно от 0 до P, а при n ≥ 10 равно P (P = σ0, σ0 = – 0,1 МПа). Граничные условия для контуров BC и AD при t > 0 mus04.wmf. Контур CD свободен от нагрузок. Отраженные волны от контуров BC и AD не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 190. Исследуемая расчетная область имеет 4221 узловую точку и 4000 конечных элементов. Решается система уравнений из 16884 неизвестных. Для примера на рис. 3 представлено изменение нормального напряжения mus05.wmf (mus06.wmf) во времени n в точке B1.

mysaev3.tif

Рис. 3. Изменение нормального напряжения mus08.wmf во времени n в точке B1 в задаче об отражении упругих волн напряжений в виде функции Хевисайда от свободной поверхности

3. Рассмотрим задачу об отражении упругих волн напряжений в виде дельта функции от жесткой поверхности.

mysaev4.tif

Рис. 4. Изменение нормального напряжения mus09.wmf во времени n в точке B1 в задаче об отражении упругих волн напряжений в виде дельта функции от жесткой поверхности

На границе пластинки AB (рис. 1) приложено нормальное напряжение σy, которое при 0 ≤ n ≤ 10 (n = t/∆t) изменяется линейно от 0 до P, а при n ≥ 10 от P до 0 (P = σ0, σ0 = – 0,1 МПа). Граничные условия для контуров BC, AD и CD при t > 0 mus10.wmf. Отраженные волны от контуров BC и AD не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 190. Исследуемая расчетная область имеет 4221 узловую точку и 4000 конечных элементов. Решается система уравнений из 16884 неизвестных. Для примера на рис. 4 представлено изменение нормального напряжения mus11.wmf (mus12.wmf) во времени n в точке B1.

4. Рассмотрим задачу об отражении упругих волн напряжений в виде функции Хевисайда от жесткой поверхности.

mysaev5.tif

Рис. 5. Изменение нормального напряжения mus13.wmf во времени n в точке B1 в задаче об отражении упругих волн напряжений в виде функции Хевисайда от жесткой поверхности

На границе пластинки AB (рис. 1) приложено нормальное напряжение σy, которое при 0 ≤ n ≤ 10 (n = t/∆t) изменяется линейно от 0 до P, а при n ≥ 10 равно P (P = σ0, σ0 = – 0,1 МПа). Граничные условия для контуров BC, AD и CD при t > 0 mus17.wmf. Отраженные волны от контуров BC и AD не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 190. Исследуемая расчетная область имеет 4221 узловую точку и 4000 конечных элементов. Решается система уравнений из 16884 неизвестных. Для примера на рис. 5 представлено изменение нормального напряжения mus18.wmf(mus19.wmf) во времени n в точках B1.

5. Рассмотрим задачу об интерференции плоских продольных упругих волн напряжений в виде дельта функции. На границе пластинки AB (рис. 6) приложено нормальное напряжение σy, которое при 0 ≤ n ≤ 10 (n = t/∆t) изменяется линейно от 0 до P, а при n ≥ 10 от P до 0 (P = σ0, σ0 = – 0,1 МПа). На границе пластинки CD (рис. 6) приложено нормальное напряжение σy, которое при 0 ≤ n 10 изменяется линейно от 0 до P, а при n ≥ 10 от P до 0 (P = σ0, σ0 = 0,1 МПа). Граничные условия для контуров BC и AD при t > 0 mus22.wmf. Отраженные волны от контуров BC и AD не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 190. Исследуемая расчетная область имеет 4221 узловую точку и 4000 конечных элементов. Решается система уравнений из 16884 неизвестных. Для примера на рис. 7 представлено изменение нормального напряжения mus23.wmf (mus24.wmf) во времени n в точках B1.

mysaev6.tif

Рис. 6. Постановка задачи об интерференции волн напряжений

6. Рассмотрим задачу об интерференции плоских продольных упругих волн напряжений в виде функции Хевисайда.

mysaev7.tif

Рис. 7. Изменение нормального напряжения mus25.wmf во времени n в точке B1 в задаче об интерференции плоских продольных упругих волн напряжений в виде дельта функции

На границе пластинки AB (рис. 6) приложено нормальное напряжение σy, которое при 0 ≤ n ≤ 10 (n = t/∆t) изменяется линейно от 0 до P, а при n ≥ 10 равно P (P = σ0, σ0 = – 0,1 МПа). На границе пластинки CD (рис. 6) приложено нормальное напряжение σy, которое при 0 ≤ n ≤ 10 изменяется линейно от 0 до P, а при n ≥ 10 равно P (P = σ0, σ0 = – 0,1 МПа). Граничные условия для контуров BC и AD при t > 0 mus28.wmf. Отраженные волны от контуров BC и AD не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 190. Исследуемая расчетная область имеет 4221 узловую точку и 4000 конечных элементов. Решается система уравнений из 16884 неизвестных. Для примера на рис. 8 представлено изменение нормального напряжения mus29.wmf (mus30.wmf) во времени n в точках B1.

mysaev8.tif

Рис. 8. Изменение нормального напряжения mus31.wmf во времени n в точке B1 в задаче об интерференции плоских продольных упругих волн напряжений в виде функции Хевисайда

Выводы

1. Сравнение с результатами отражения и интерференции волн напряжений показало хорошее совпадение, что позволяет сделать вывод о физической достоверности и математической точности результатов численного решения динамических задач, полученных методом конечных элементов в перемещениях.

2. Методика, алгоритм, комплекс программ и результаты решенных задач рекомендуются для использования в научно-технических организациях, специализирующихся в области динамического расчета сооружений с окружающей средой при ударных, взрывных и сейсмических воздействиях.


Библиографическая ссылка

Мусаев В.К. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ И ДОСТОВЕРНОСТИ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ОБ ОТРАЖЕНИИ И ИНТЕРФЕРЕНЦИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УПРУГИХ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ // Успехи современного естествознания. – 2015. – № 1-7. – С. 1184-1187;
URL: https://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=35035 (дата обращения: 18.10.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074