Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

ОБ АДДИТИВНОСТИ РАБОТ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Иванов Е.М.
Показано, что аддитивность (независимость) работ выполняется только для перпендикулярных сил. Работы сил, действующих по одной оси, не равна их арифметической сумме.
В физике, в разделе классической механики, используется принцип независимости механических движений. Например, при движении материальной точки в плоскости ХОY траектория тела определяется как результат двух независимых движений: движения вдоль оси X и движения вдоль оси Y, и положение тела на плоскости будет определяться двумя координатами:  и . Соответственно определяются скорости и ускорения:  и . Если движение свободного тела происходит под действием силы F, то силу можно разложить на две составляющие . Работу, совершаемую силой, направленной вдоль перемещения, можно записать в виде . Используя соотношения:  и , выражение для работы можно представить в следующем виде:

      или                            (1)

где  - импульс силы. Для свободного тела импульс силы передается телу в виде импульса (количества движения) тела , т.е. . Это выражение - II закон Ньютона. Поскольку работа (1) пропорциональна квадрату силы F, то для взаимно перпендикулярных сил  и  будет выполняться принцип аддитивности (независимости) работ: работу силы A можно представить в виде арифметической суммы работ :

   (2)

Однако, принцип аддитивности работ не применим к силам, действующим вдоль одной координатной оси. Пусть сила F представляет собой сумму двух сил: . Запишем формально сумму работ этих сил. Не трудно убедиться на конкретных числовых значениях, что:

   (3)

т.е. условие аддитивности не выполняется. На самом деле работа двух сил будет равна:

    (4)

или

    (4а)

В курсах физики для определения работы, затрачиваемой на разгон (или торможение) тела, используется теорема о кинетической энергии: изменение кинетической энергии материальной точки при её перемещении между двумя положениями равна работе, совершенной при этом силой: . Рассмотрим эту задачу, используя понятия импульса силы и количества движения.

Пусть свободное тело массы m движется равномерно и прямолинейно со скоростью . Требуется изменить его скорость, например, повысить до величины . Для этого необходимо сообщить телу дополнительный импульс  (рис. 1а). Запишем закон сохранения импульса:

    (5)

Формально запишем закон сохранения энергии (работ):

        (6)

Однако нетрудно убедиться простым численным расчетом, что закон сохранения энергии в таком виде ошибочен вследствие неаддитивности работ.

Рисунок 1а. Закон сохранения импульса

Поскольку вектора  и  лежат на одной прямой, то закон сохранения импульса (5) трактуют как алгебраическую сумму . Перепишем (5) из векторной формы в алгебраическую, используя теорему косинусов (рис. 1б):

  (7)

Рисунок 1б. Преобразование из векторной формы в алгебраическую закона сохранения импульса

Для нашего случая угол  и . Тогда вместо (7) получим:

       (8)

Разделив это выражение на удвоенную массу, получим закон сохранения энергии (работ):

      (9)

Или в таком виде:

      (9а)

Последний член:

где  - квадрат среднегеометрической величины скорости, 2m - удвоенная масса при переходе из одной инерциальной системы ( ) к другой ( ).

Из уравнений (9) и (9а) найдем работу разгона (торможения):

   (10)

А теперь рассмотрим случай, когда тело массы m под действием горизонтальной силы F начинает движение по шероховатой поверхности (коэффициент трения скольжения ). Сила трения . Силу тяги можно представить в виде суммы: , где сила  в соответствии со II законом Ньютона вызывает ускоренное движение тела: . Во всех курсах физики работу силы тяги представляют в следующем виде:

          (11)

Однако это выражение неверно, так как для сил, действующих вдоль одной оси, не выполняется принцип аддитивности работ. Запишем векторную сумму импульсов сил: , где , , . Векторную сумму запишем в алгебраической форме (в общем случае надо использовать теорему косинусов):

Разделив все члены равенства на 2m, получим:

            (12)

или

       (12а)

где  - суммарная работа силы тяги,  - работа, затрачиваемая на увеличение кинетической энергии,  - работа, затрачиваемая на преодоление силы трения при равномерном движении,  - работа силы трения при ускоренном движении.

Автором в работах [1-3] была определена работа центростремительных и гироскопических сил. Определим её с помощью принципа аддитивности работ, совершаемых ортогональными силами  и  (рис.2).

Рисунок 2. Принцип аддитивности работ, совершаемых ортогональными силами  и  

Пусть материальная точка m равномерно движется по окружности под действием центростремительной силы . Угол поворота , где  или ,T - период вращения. Силу F раскладываем на две составляющие:  и . Найдем импульсы этих сил:

;

;

 Работа, совершаемая силой F, будет равна:

   (13)

Т.е. получили то же самое выражение, что и в работах [1-3]. Для четверти окружности  и работа , аналогично , .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Иванов Е.М. Работа центростремительных и гироскопических сил //Вестник ДИТУД. - 2003. - №1.
  2. Иванов Е.М. Дополнительные главы классической механики. Димитровград, ДИТУД УлГТУ, 2004.
  3. Иванов Е.М. Работа центростремительных и гироскопических сил //Успехи современного естествознания. - №9. - 2004.

Библиографическая ссылка

Иванов Е.М. ОБ АДДИТИВНОСТИ РАБОТ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ // Успехи современного естествознания. – 2005. – № 12. – С. 10-12;
URL: https://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=9611 (дата обращения: 28.06.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074