Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,560

INSIDE BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE PSEUDOPARABOLIC EQUATION

Zhemukhova Z.M. 1
1 FGBOU VPO «Kabardin-Balkar state university n.a. K.M. Berbekov»
Исследована внутреннекраевая задача для псевдопараболического уравнения третьего порядка в прямоугольной области. Путем редукции к уравнению Вольтерра второго рода доказана однозначная и безусловная разрешимость задачи.
The work is devoted to the investigation of the inside boundary value problem for the pseudoparabolic equation in rectangular region. Existence and uniqueness of the solution was proved by the reduction of second sort Volterr equation.
Volterra equation
Gursa problem
Riman function
inside boundary value problem
pseudoparabolic equation

Решение многих практически важных задач, возникающих при исследовании процессов фильтрации жидкости в трещиновато-пористых средах [1], [9], движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах [10] связано с необходимостью исследования нелокальных задач для псевдопараболических уравнений [2].

Для модельного псевдопараболического уравнения А.М. Нахушевым в [8] была сформулирована краевая задача с нелокальным условием.

Цель исследования: доказать существование и единственность решения нелокальной задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка.

Постановка задачи. Пусть

zemuh001.wmf

конечная область плоскости переменных xyt zemuh003.wmf интервал zemuh004.wmf прямой zemuh005.wmf Для общего псевдопараболического уравнения

zemuh006.wmf

в области D ставится задача.

Задача. Найти регулярное в области zemuh008.wmf решение zemuh009.wmf уравнения (1) из класса zemuh010.wmf удовлетворяющее условиям:

zemuh011.wmf (2)

zemuh012.wmf (3)

zemuh013.wmf (4)

где zemuh014.wmf – произвольно фиксированные точки из интервала zemuh015.wmf γ = const f(t) и h(x) непрерывные функции.

Справедлива следующая теорема.

Теорема: Если коэффициенты уравнения (1) и заданные функции удовлетворяют условиям

zemuh018.wmf

zemuh019.wmf

а также

zemuh020.wmf

то задача (1)-(4) разрешима и притом единственным образом.

Доказательство. Справедливость теоремы докажем методом функции Римана [8].

В области

zemuh021.wmf

рассмотрим характеристическую задачу Гурса [3]

zemuh022.wmf (5)

zemuh023.wmf

zemuh024.wmf (7)

для уравнения (1), где zemuh025.wmf – неизвестная пока функция из класса zemuh026.wmf Пусть zemuh027.wmf – функция Римана, введенная в [8], которая однозначно определяется следующими требованиями:

zemuh028.wmf

zemuh029.wmf

где zemuh030.wmf – решение следующей задачи:

zemuh031.wmf

zemuh032.wmf – произвольная точка области zemuh033.wmf.

Единственность и существование функции Римана zemuh034.wmf доказывается методом редукции к нагруженным интегро-дифференциальным уравнениям [7].

Интегрируя тождество

zemuh035.wmf

zemuh036.wmf (8)

по области zemuh037.wmf с учетом свойств функции Римана zemuh038.wmf и условий (5) – (7), получим

zemuh039.wmf

zemuh040.wmf

zemuh041.wmf

zemuh042.wmf

zemuh043.wmf (9)

Формула (9) дает явное представление решения задачи Гурса (1), (5)-(7).

Для нахождения неизвестной функции zemuh044.wmf по аналогичной схеме в zemuh045.wmf рассмотрим характеристическую задачу Гурса

zemuh046.wmf (10)

zemuh047.wmf (11)

zemuh048.wmf (12)

для уравнения (1).

Пусть zemuh049.wmf – функция Римана, удовлетворяющая условиям:

zemuh050.wmf

zemuh051.wmf

где zemuh052.wmf – решение задачи [5]:

zemuh053.wmf

zemuh054.wmf – произвольная точка области zemuh055.wmf.

Интегрируя тождество (9) по области zemuh056.wmf и пользуясь свойством функции Римана zemuh057.wmf получим

zemuh058.wmf

zemuh059.wmf

zemuh060.wmf

zemuh061.wmf

zemuh062.wmf (13)

Формула (13) дает представление решения задачи Гурса (1), (10)-(12).

Тогда при выполнении условия zemuh063.wmf теоремы, выполняется неравенство

zemuh064.wmf

С учетом (14), используя условие склеивания (4), из соотношений (9) и (13) получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно ϕ(τ)

zemuh066.wmf (15)

где

zemuh067.wmf

Так как с учетом гладкости известных функций

zemuh068.wmf,

то на основании свойств функций Римана zemuh069.wmf и zemuh070.wmf и условия теоремы, то единственное регулярное решение zemuh071.wmf интегрального уравнения Вольтерра второго рода (15) из класса zemuh072.wmf представимо в виде

zemuh073.wmf (16)

где zemuh074.wmf– резольвента ядра zemuh075.wmf.

После определения функции zemuh076.wmf формулой (16) исследуемая задача распадается на две характеристические задачи (5) – (7) и (10) – (12) для псевдопараболического уравнения (1) единственные регулярные решения которых даются соответственно, формулами (9) и (13).

Из единственности регулярного решения указанных характеристических задач Гурса для уравнения (1) следует справедливость теоремы.

Нелокальные внутреннекраевые задачи для уравнений смешанного типа исследовались также в работах [3-7].