Решение многих практически важных задач, возникающих при исследовании процессов фильтрации жидкости в трещиновато-пористых средах [1], [9], движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах [10] связано с необходимостью исследования нелокальных задач для псевдопараболических уравнений [2].
Для модельного псевдопараболического уравнения А.М. Нахушевым в [8] была сформулирована краевая задача с нелокальным условием.
Цель исследования: доказать существование и единственность решения нелокальной задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка.
Постановка задачи. Пусть
конечная область плоскости переменных xyt 
интервал 
прямой 
Для общего псевдопараболического уравнения
в области D ставится задача.
Задача. Найти регулярное в области 
решение 
уравнения (1) из класса 
удовлетворяющее условиям:
(2)
(3)
(4)
где 
– произвольно фиксированные точки из интервала 
γ = const f(t) и h(x) непрерывные функции.
Справедлива следующая теорема.
Теорема: Если коэффициенты уравнения (1) и заданные функции удовлетворяют условиям
а также
то задача (1)-(4) разрешима и притом единственным образом.
Доказательство. Справедливость теоремы докажем методом функции Римана [8].
В области
рассмотрим характеристическую задачу Гурса [3]
(5)
(7)
для уравнения (1), где 
– неизвестная пока функция из класса 
Пусть 
– функция Римана, введенная в [8], которая однозначно определяется следующими требованиями:
где 
– решение следующей задачи:
– произвольная точка области 
.
Единственность и существование функции Римана 
доказывается методом редукции к нагруженным интегро-дифференциальным уравнениям [7].
Интегрируя тождество
(8)
по области 
с учетом свойств функции Римана 
и условий (5) – (7), получим
(9)
Формула (9) дает явное представление решения задачи Гурса (1), (5)-(7).
Для нахождения неизвестной функции 
по аналогичной схеме в 
рассмотрим характеристическую задачу Гурса
(10)
(11)
(12)
для уравнения (1).
Пусть 
– функция Римана, удовлетворяющая условиям:
где 
– решение задачи [5]:
– произвольная точка области 
.
Интегрируя тождество (9) по области 
и пользуясь свойством функции Римана 
получим
(13)
Формула (13) дает представление решения задачи Гурса (1), (10)-(12).
Тогда при выполнении условия 
теоремы, выполняется неравенство
С учетом (14), используя условие склеивания (4), из соотношений (9) и (13) получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно ϕ(τ)
(15)
где
Так как с учетом гладкости известных функций
,
то на основании свойств функций Римана 
и 
и условия теоремы, то единственное регулярное решение 
интегрального уравнения Вольтерра второго рода (15) из класса 
представимо в виде
(16)
где 
– резольвента ядра 
.
После определения функции 
формулой (16) исследуемая задача распадается на две характеристические задачи (5) – (7) и (10) – (12) для псевдопараболического уравнения (1) единственные регулярные решения которых даются соответственно, формулами (9) и (13).
Из единственности регулярного решения указанных характеристических задач Гурса для уравнения (1) следует справедливость теоремы.
Нелокальные внутреннекраевые задачи для уравнений смешанного типа исследовались также в работах [3-7].